Условие: По заданному уравнению x(t) поступательного движения груза 1 определить скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорение точки М механизма в момент времени t1=1 с.
Исходные данные:
R2 = 100 см, r2= 60 см, r3 = 75 см, x(t) = 18+70×t2 (см).
Найти: скорость и ускорение точки М в момент времени t1=1 с.
Рис. 23. Расчетная схема
Решение. Рассматриваемый механизм состоит из трех подвижных тел (рис. 23):
груз 1 совершает поступательное движение по закону x(t) = 18+70×t2 (см);
ступенчатый барабан 2 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О2;
диск 3 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О3.
Определим скорость груза 1, взяв производную по времени от закона движения х(t):
.
В момент времени t1=1 с модуль скорости груза 1 равен:
.
Поскольку нить нерастяжима, скорости всех точек нити на вертикальном участке имеют одинаковые модули и направления, т.е. (рис. 24).
Модуль линейной скорости точки А ступенчатого барабана определяется по формуле:
,
где – угловая скорость барабана 2, r2– радиус малой ступени барабана 2.
Рис. 24. Направления линейных скоростей точек
Отсюда угловая скорость степнчатого барабана:
(рад/с).
Зная угловую скорость w2 барабана 2, найдем линейную скорость точки В:
(см/с).
Точки В и М лежат на ободе диска 3, поэтому скорости точек В и М равны по модулю: , отсюда угловая скорость диска 3 равна:
(рад/с).
Направления угловых скоростей тел 2 и 3 и линейных скоростей всех обозначенных на схеме точек показаны на рис. 24.
Ускорение груза 1 определяется как первая производная по времени от скорости , или как вторая производная от заданного уравнения движения:
(см/с2) =1,4 (м/с2).
Из условия нерастяжимости нити по модулю равны ускорение груза 1 и касательное ускорение точки А: .
Т.к. точка А одновременно принадлежит барабану 2, ее касательное ускорение находится по формуле: , где - угловое ускорение барабана 2. Отсюда:
(рад/с2).
Рис. 25. Направления линейных ускорений точек
Касательное ускорение точки В равно:
(см/с2)=2,3 (м/с2).
, отсюда (рад/с).
Определим модуль нормального ускорения точки М:
(см/с2) = 7,21 (м/с2).
Модуль полного ускорения точки М найдем по формуле:
.
(м/с2).
Направления угловых ускорений тел 2 и 3 и ускорений всех обозначенных на схеме точек показаны на рис. 25.