Пример выполнения расчетно-графической работы по теме «Кинематика точки»

Условие: Точка М движется в плоскости Oxy. По заданным уравнениям движения х = х(t), у = у(t)точки М(где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах) найти траекторию точки, а также для заданного момента времени t=t₁ найти положение точки на ее траектории, определить и построить векторы скорости, нормального, касательного и полного ускорений, вычислить радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Исходные данные:

Уравнения движения точки:

, ,

t₁ = 1 с – заданный момент времени, t₀ = 0 – начальный момент времени.

Решение.

1) Уравнения движения x(t), y(t) являются также уравнениями траектории в параметрическом виде. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо исключить из уравнений движения параметр t. Пользуясь основным тригонометрическим тождеством ( ), получим следующее уравнение:

.

Траектория движения точки – окружность радиусом 2 см с центром в точке с координатами (-1;0) (см. рис. 10).

В момент времени t₁ = 1 (с) координаты точки М равны: х = -3 (см),

у = -3,464 (см).

2) Модуль скорости точки определим по формуле:

,

где v_x, v_y – проекции скорости на оси х и у.

.

При t₁=1(c) v_x(t1) = 3,628 (см/с), v_у(t1) = -2,094 (см/с), v = 4,189 (см/с).

3) Модуль полного ускорения точки вычислим по формуле:

,

где а_x, а_y – проекции ускорения на оси х и у.

.

При t₁=1(c) а_х(t1) = 2,193 (см/с²), а_у(t1) = 3,799 (см/с²), а = 4,386 (см/с²).

Рис. 10. Построение скоростей и ускорений точки

4) Определение касательного ускорения точки

(см/с²).

5) Определение нормального ускорения точки

; (см/с²).

6) Определение радиуса кривизны траектории

; (см).

Ответ: v_x(t1) = 3,628 см/с, v_у(t1) = -2,094 см/с, v = 4,189 см/с;

а_х(t1) = 2,193 см/с², а_у(t1) = 3,799 см/с², а = 4,386 см/с²;

а_t = 0 см/с², а_n = 4,386 см/с²; r = 4 см.

Задания для выполнения расчетно-графической работы по теме «Кинематика точки»

Условие: Точка B движется в плоскости Оxy (рис. 11). Закон движения точки задан уравнениями х = x(t), у = y(t), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах. Зависимости х = x(t) и у = y(t) даны в табл. 2.

Таблица 2

Варианты исходных данных

Продолжение табл. 2

Методические указания

Перед выполнением задания необходимо изучить тему «Кинематика точки». При решении задачи на определение уравнения траектории точки и ее кинематических характеристик целесообразно придерживаться следующего порядка:

1) исключить из уравнений движения точки в координатной форме время и получить уравнение относительно координат точки;

2) построить траекторию точки, указав при этом, является ли траекторией движения точки вся линия или какая-то ее часть;

3) по уравнениям движения точки найти ее координаты, проекции скорости и ускорения на оси координат в данный момент времени, показать на чертеже положение точки и построить векторы скорости и ускорения;

4) определить касательное и нормальное ускорения точки в данный момент времени и показать на чертеже разложение вектора ускорения точки на указанные составляющие;

5) определить по направлениям векторов скорости и касательного ускорения точки, является ли ее движение в данный момент времени ускоренным или замедленным;

6) найти радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

В некоторых вариантах при расчетах следует использовать тригонометрические тождества:

1.6. Задания для самостоятельной работы

Поиск по сайту: