Значення рівнів часового ряду визначаються: тенденцією, що склалася протягом певного періоду часу, взаємозв'язками між послідовними рівнями ряду, а також взаємозв'язками між результуючим показником та показниками-факторами впливу. Відповідно до цього розрізняють три типи задач моделювання
Найпростішими методами моделювання є аналітичні методи вирівнювання часових рядів, тобто це регресійні методи, у яких залежною змінною є досліджуваний показник, а незалежною змінною -час. Результатом аналітичних методів вирівнювання є побудова кривих росту, які по суті описують закономірності розвитку досліджуваних явищ протягом певного періоду часу.
Процедура прогнозування за допомогою кривих росту включає в себе наступні етапи:
вибір однієї або декількох кривих, форма яких відповідає характеру зміни часового ряду;
оцінка параметрів вибраних кривих;
перевірка адекватності вибраних кривих прогнозованому процесу, оцінка точності моделі і кінцевий вибір кривої росту;
розрахунок точкового і інтервального прогнозів.
Алгоритм прогнозування з використанням кривих росту наведений нарис. 5.5.
Криві росту (функції) умовно можуть бути розділені на три класи в залежності від суті економічного процесу, динаміку якого вони описують.
До І класу належать функції, які описують процеси з монотонним та необмеженим характером розвитку.
До II класу належать функції, які описують процеси з обмеженим ростом в досліджуваному періоді - криві насичення. Це стосується демографічних процесів, попиту на товари та послуги, ефективності використання ресурсів тощо.
Якщо криві насичення мають точки перегину, то їх відносять до III типу кривих росту - до S -подібних кривих. Ці криві описують два послідовних процеси: один з прискоренням розвитку, другий - із сповільненням.
S-подібні криві також використовують у демографічних дослідженнях, у актуарних розрахунках, при розв'язуванні задач прогнозування науково-технічного прогресу, при вивченні попиту на новий вид продукції тощо.
Рис. 5.5. Блок схема алгоритму прогнозування на основі кривих росту
При попередньому аналізу часового ряду відбирають, як правило, не одну, а декілька кривих росту для подальшого дослідження і побудови трендової моделі часового ряду.
У таблиці 5.9. наведено функції, які найчастіше використовуються у практиці економічного прогнозування.
Таблиця 5.9.
Назва функції
Аналітичний вигляд функції
Лінійна (поліном першого ступеня)
Квадратична (поліном другого ступеня)
Поліном третього ступеня
Експонента (проста)
Продовження табл. 5.9.
Модифікована експонента
Логарифмічна крива
Обернена логарифмічна крива
S-подібна крива
Степенева
Гіперболічна крива І типу
Гіперболічна крива II типу
Крива Гомпертця
Логістична крива
Встановлення вигляду кривої, тобто аналітичної залежності досліджуваного показника - одна з найважливіших задач. Обрана функція повинна задовольняти наступним умовам: бути теоретично обґрунтованою; параметри функції повинні бути змістовними та економічно обґрунтованими; теоретичні значення, оцінені за допомогою моделей повинні якомога менше відрізнятися від відповідних фактичних спостережень часового ряду.
Оцінки параметрів побудованих моделей визначаються методом найменших квадратів, суть якого полягає у виборі моделі з такими параметрами, при яких сума квадратів відхилень розрахункових значень рівнів від фактичних значень буде мінімально, тобто:
(5.7)
де - фактичні значення часового ряду в момент часу
- теоретичні значення часового ряду в момент часу розраховані за моделлю;
- кількість спостережень.
Для прогнозування на майбутніх періодів на основі побудованої моделі необхідно в рівняння кривої росту підставити відповідне значення часового параметра замість
Приклад. 5.2. За статистичними даними про роздрібний товарооборот підприємств Луганської області (2002 - 2009 рр.), наведених у таблиці 5.6, визначити параметри трендів за лінійною, параболічною та експоненційною моделями; дати економічну інтерпретацію отриманих параметрів моделей; розрахувати прогнозний рівень роздрібного товарообороту на 2010 - 2012 рр.
З використанням пакету прикладних програм MS Exel були отримані такі моделі: лінійна, параболічна та експоненційна. Лінійна - (рис. 5.6).
Згідно з отриманою моделлю, оцінка середнього рівня ряду при складає -292,18 млн.грн, а середньорічний абсолютний приріст роздрібного товарообороту дорівнює 1045,9 млн.грн.
Для прогнозування за цією моделлю на чотири періоди наперед необхідно в побудовану модель підставити значення часового параметра
Рис 5.6. Динаміка роздрібного товарообороту підприємств Луганської області
(2002 - 2009 рр.)
Рис.5.7. Лінійна модель тренду
Pис. 5.8. Параболічна модель тренду
Параболічна модель має вигляд (рис. 5.8).
Згідно з отриманою моделлю, оцінка середнього рівня ряду при складає 2256,8 млн.грн., середньорічний абсолютний приріст роздрібного товарообороту дорівнює - 483,54 млн.грн, причому приріст є не постійною величиною, а в средньому зростає на 169,93 млн.грн. щорічно.
В побудовану модель підставимо значення часового параметра
Експоненційна модель має вигляд (рис. 5.9).
Рис.5.9. Експоненційна модель тренду
За побудованою моделлю, оцінка середнього рівня ряду при складає 1272,4 млн.грн., середньорічний темп росту роздрібного товарообороту дорівнює 24,15%, причому приріст є не постійною величиною, а в средньому зростає на 169,93 млн.грн. щорічно.
В побудовану модель підставимо значення часового параметра
Співставлення фактичних і теоретичних значень кожної моделі дає підставу стверджувати, що лінійна модель тренду є мало придатною для прогнозування, оскільки вона не відображає реальної тенденції розвитку. Найближче до фактичних рівнів ряду знаходяться значення, які лежать на кривій, що описується параболічною та експоненційною моделями. Але кінцевий вибір найкращої моделі можна зробити лише після оцінки її точності.