 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Движения и равенство фигур
Из различных преобразований фигур самыми важными являются такие, при которых сохраняются все их свойства; расстояние между точками, углы, параллельность отрезков, площади и т.д. Оказывается, что для этого достаточно потребовать только сохранения расстояния между точками данной фигуры. Тогда у фигуры, которая получается при преобразовании, сохраняются и все остальные геометрические свойства, так как они зависят от расстояний. Определение.Преобразование фигуры F в фигуру F', которое сохраняет расстояние между точками, называется движением фигуры F. Движение сопоставляет любым точкам А и В фигуры Этакие точки А' и В' фигуры F', что АВ = А'В'. В геометрии доказано, что преобразования симметрии относительно точки и прямой, являются движениями. Кроме того, движениями являются параллельный перенос фигуры, поворот фигуры вокруг точки на данный угол. Движения фигур обладают рядом свойств, некоторые из которых мы сформулируем, не доказывая. 1. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. 2. Отрезок движением переводится в отрезок, луч переходит в луч, прямая - в прямую. 3. Треугольник движением переводится в треугольник. 4. Движение сохраняет величины углов. 5. Преобразование, обратное движению, также является движением. В геометрии движения играют важную роль. Изменяя расположение фигур на плоскости, они не меняют ни их размеры, ни их формы. С точки зрения геометра, фигуры, отличающиеся лишь своим положением на плоскости, совершенно одинаковы, именно поэтому они называются равными (или конгруэнтными). Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Например, равные треугольники имеют не только соответственно равные стороны и углы, но и соответственно равные медианы, высоты, площади и т.д. Определение. ФигураF равна фигуре F', если фигуру F' можно получить некоторым движением фигуры F. Используя понятие взаимно однозначного соответствия, это определение можно сформулировать так: фигуры F и F' называются равными, если между их точками существует такое взаимно однозначное соответствие, что отрезки, соединяющие соответственные точки, равны. Устанавливая равенство отрезков, углов, треугольников и других фигур, нет необходимости преобразовывать одну фигуру в другую. Достаточно сравнить те размеры фигур, которыеих однозначно определяют. Например, у треугольников сравнить расстояния между вершинами, т.е. длины сторон. Когда же рассматривают произвольные фигуры, необходимо определение их равенства через движение. Нетрудно убедиться в том, что равенство фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Поэтому это отношение порождает на множестве геометрических фигур классы эквивалентности, содержащие равные между собой фигуры. С позиций геометрии такие фигуры неразличимы и их можно принять за одну и ту же фигуру. Именно поэтому можно сказать, что задача построения прямоугольника по двум сторонам а и b имеет только одно решение. Сказанное позволяет уточнить наше понимание предмета геометрии - она изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Или, другими словами, геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Цель. Обобщить и систематизировать основные понятия планиметрии и их свойства. Уметь решать практические задачи на их применение. Теоретическая часть Вопросы к изучению 1. История возникновения и развития геометрии. 2. Свойства геометрических фигур на плоскости: углы. 3. Параллельные и перпендикулярные прямые. 4. Треугольники. 5. Четырехугольники. 6. Многоугольники. 7. Окружность и круг. Основные понятия темы Ø отрезок, луч; Ø угол (прямой, острый, тупой), смежные углы, вертикальные углы; Ø параллельные прямые, перпендикулярные прямые; Ø треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний); Ø четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат; Ø многоугольник (выпуклый, невыпуклый), многоугольная фигура; Ø окружность, касательная к окружности, круг. Практическая часть Углы 1. Назовите свойства угла, которые включены в его определение. Можете ли вы назвать другие свойства понятия “угол”? 2. Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного из бумаги? 3. Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой? 4. Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную точку? 5. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки? 6. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника. 7. Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности прямые. 8. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов. 9. Как найти центр окружности, если он неизвестен? 10. В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехугольник - прямоугольник. 11. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены? 12. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия? 13. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой. 14. Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. 15. Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.
Поиск по сайту: |