Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения

Определения. Точка называется точкой разрыва функции , если в ней не выполняются условия непрерывности.

Если в точке функция имеет конечные пределы слева и справа, но они не равны друг другу, , то точка называется точкой разрыва функции 1-го рода.

Разность называется скачком функции в точке .

Если в точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то точка называется точкой разрыва 2-го рода.

Если в точке функция имеет предел слева и справа и они равны между собой, но не равны значению функции в точке ,

то точка называется точкой неустранимого разрыва функции .

Решение задачи IV типового варианта

Пример 20. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график:

▲ Функция определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках .

Для точки имеем:

.

Замечание. Символ позволяет выбрать нужное аналитическое выражение для функции из уравнений, ее определяющих.

,

т. е. функция в точке имеет разрыв первого рода.

Скачок .

Для точки находим:

.

,

т. е. в точке функция также имеет разрыв первого рода.

Скачок .

y

–2 –1 O 1 x

Рис.1 График данной функции

Решение задачи V типового варианта

Пример 21. Исследовать функцию на непрерывность в точках .

▲ Для точки имеем:

,

,

т. е. в точке функции терпит бесконечный разрыв ( точка разрыва второго рода).

Для точки имеем:

, , .

Итак, предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке. Функция непрерывна . ▼

Знания и умения, которыми должен владеть студент

Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок

Множество. Элементы теории доказательств.

1.1. Классификация числовых множеств. Операции над множествами.

1.2. Точная верхняя и точная нижняя границы ограниченных числовых множеств.

1.3. Свойства множества вещественных чисел.

1.4. Абсолютная величина вещественного числа. Свойства.

1.5. Высказывание. Логические связки. Кванторы.

1.6. Необходимые и достаточные условия. Прямая и обратная теоремы.

Функции.

2.1. Функция как отображение множеств.

2.2. Функция числового аргумента.

2.3. Числовая последовательность.

2.4. Классификация функций.

2.5. Сложная функция.

2.6. Обратная функция; ее свойства.

2.7. Элементарные функции.

Предел.

3.1. Предел числовой последовательности.

3.2. Определение предела функции.

3.3. Бесконечно малые функции (бмф) и бесконечно большие функции (ббф).

3.4. Сравнение бмф и ббф.

3.5. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Непрерывность.

4.1. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

4.2. Свойства непрерывных функций.

4.3. Точки разрыва и их классификация.

Поиск по сайту: