Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Функции. Пределы. Непрерывность функции. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2006. – 24 с.
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.
"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.
Целью математического образования является:
1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.
2. Привитие навыков современных видов математического мышления.
3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Функции. Пределы. Непрерывность функции"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Основные теоретические сведения
Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющих промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции). Ни составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.
Определение. Множество Rназывается множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы – действительными (вещественными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
аксиомы сложения, аксиомы умножения, связь сложения и умножения, аксиомы порядка,
связь сложения и порядка вR, связь умножения и порядка R, аксиома полноты (непрерывности).
Вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой. Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а сами числа – точками, и при рассмотрении числовых множеств часто пользуются их геометрической интерпретацией.
Будем использовать следующие обозначения и терминологию:
N – множество всех натуральных чисел;
Z– множество всех целых чисел;
– множество всех вещественных чисел (числовая прямая);
– сегмент (отрезок)–множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам ;
– интервал –множество всех вещественных чисел , удовлетворяющих неравенствам ;
– полуинтервал (полусегмент) –множество всех вещественных чисел , удовлетворяющих соответственно неравенствам ;
– полупрямая –множество всех вещественных чисел , удовлетворяющих соответственно неравенствам
;
отрезок, интервал, полуинтервал, полупрямую и числовую прямую будем называть также промежутком;
окрестность точки любой интервал, содержащий точку ;
окрестность точки – интервал.
Абсолютная величина
Определение. Модулем (абсолютной величиной) вещественного числа называют неотрицательное число , определяемое равенством:
Абсолютные величины обладают следующими свойствами: