Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если такое, что .

Обозначение: .

Если при этом, начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут .

С геометрической точки зрения это означает, что в любой (сколь угодно большой) окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее – бесконечно много членов.

Отметим, что бесконечно большая последовательность не является сходящейся и символическая запись означает только, что последовательность является бесконечно большой, но вовсе не означает, что она имеет предел.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности (даже все члены последовательности начиная с некоторого номера). Обратное утверждение неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную величину является бесконечно малой последовательностью.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

Теорема 5. Если последовательность – бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если последовательность – бесконечно малая и , то последовательность является бесконечно большой.

Решение задачи 1 типового варианта

Пример 1. Доказать, что (указать ).

▲В соответствии с определением предела последовательности (стр. 5) зададим произвольно сколь угодно малое число и покажем, что для него можно найти такое число , что для всех членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство

.

Для отыскания числа решим это неравенство относительно . Так как

,

то от этого неравенства переходим к неравенству

.

Из последнего неравенства следует, что можно принять число, удовлетворяющее условию

.

Следовательно, , где – целая часть числа .

Таким образом, при произвольном числе найдено число такое, что для любого выполняется неравенство . Это и означает (по определению предела последовательности), что – предел рассматриваемой последовательности.

Придавая конкретное значение в правой части неравенства , можно указать соответствующий номер, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в точки . Например, если , то

и .

Следовательно, начиная с номера , т. е. , . ▼

Пример 2. Дана последовательность . Доказать, что ее предел .

▲ В соответствии с определением предела последовательности (стр. 5) зададим произвольно сколь угодно малое число и покажем, что для него можно найти такое число , что для всех членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство

.

Решим неравенство

.

Следовательно, . Таким образом, существует число такое, что для любого выполняется неравенство . ▼

Поиск по сайту: