ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Начало изучению понятия предела числовой последовательности положено уже в элементарной математике. Примерами таких последовательностей могут служить: последовательность всех членов арифметической и геометрической последовательностей; последовательность периметров правильных n – угольников, вписанных в данную окружность; последовательность приближенных значений .

Определение 1. Если каждому числу из натурального ряда чисел

по некоторому закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Другими словами, числовую последовательность можно определить как множество пар чисел , в которых первое число принимает последовательно значения .

Числа называются элементами (или членами) последовательности.

Символ – общим элементом последовательности; а число – его номером.

Сокращенно последовательность будем обозначать символом .

Последовательности могут быть заданы посредством описания их словами или формулой ее общего члена.

При любом способе задания последовательности каждый ее член определяется номером занимаемого места. Поэтому возможно такое определение последовательности.

Определение 2. Функция , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения функции называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, снабжая символ соответствующим индексом аргумента, . Саму последовательность называют последовательностью элементов множества X.

По самому определению, последовательность содержит бесконечное число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами.

Геометрически последовательность изображается на координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности.

Последовательности называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей: и (для частного ).

Определение. Последовательность называется ограниченной, если

такое, что .

С геометрической точки зрения это означает, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности точки .

Определение. Последовательность называется неограниченной, если

.

Определение. Число называется пределом последовательности , если такой, что выполняется неравенство .

Обозначение: .

Поиск по сайту: