Умножить числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

2) После этого сделать необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение, выделение критического множителя и т. д.) и перейти к пределу.

Решение задачи 6 типового варианта

Пример 3. Найти указанный предел .

▲

. ▼

Пример 4. Найти указанный предел .

▲

. ▼

Пример 5. Найти указанный предел .

▲

. ▼

Раскрытие неопределенностей .

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела дроби, содержащей тригонометрические функции в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равен нулю, надо

С помощью алгебраических и тригонометрических преобразований разложить числитель и знаменатель на множители, выделив критический множитель.

Для нахождения предела использовать первый замечательный предел

.

Решение задачи 9 типового варианта

Пример 6. Найти .

▲ . ▼

Пример 7. Найти .

▲

▼

▲ . ▼

Следует запомнить, что .

Пример 8. Найти .

▲ . ▼

Пример 9. Найти .

▲ . ▼

Пример 10. Найти .

▲ . ▼

Пример 11. Найти .

▲

. ▼

Пример 11. Найти .

▲ . ▼

Если под знаком предела делается замена переменной, то

Все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную,

А из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.

Пример 12. Найти .

▲

. ▼

Раскрытие неопределенностей вида .

Если предел отношения двух алгебраических функций дает неопределенность вида , то

нужно числитель и знаменатель дроби поделить на старшую степень переменной , встречающуюся в членах этой дроби.

Или

в числителе и знаменателе вынести множитель, переменную , где

– старшая степень переменной.

Решение задачи 3-5 типового варианта

Пример 13. Найти .

▲

. ▼

Пример 14. Найти .

▲

. ▼

Пример 15. Найти .

▲ . ▼

Такие примеры можно решать и устно, пользуясь следующим правилом:

Предел отношения двух алгебраических функций равен

1) отношению коэффициентов перед старшей степенью , если степень алгебраической функции в числителе равна степени алгебраической функции в знаменателе;

2) нулю, если степень алгебраической функции в числителе меньше степени алгебраической функции в знаменателе;

3) , если степень алгебраической функции в числителе больше степени алгебраической функции в знаменателе.

Неопределенность . Условия, при которых возникает эта неопределенность, связана с пределом .

При отыскании пределов вида в случае, когда существуют конечные пределы , имеет место формула

.

Раскрытие неопределенности .

Неопределенность вида может быть раскрыта способом непосредственной «подгонки» ко второму замечательному пределу, который можно записать в одном из следующих видов:

.

Способ «подгонки» состоит в следующем:

функцию представляют в виде .

Показатель степени записывают в виде: ,

И тогда

.

Решение задачи 7-8 типового варианта

Пример 16. Найти .

▲

. ▼

Пример 17. Найти .

▲ . ▼

Поиск по сайту: