Предельный переход и арифметические операции

Теорема 1. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки , быть может, кроме самой точки . Если , то

1) ;

2) ;

3) .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Если и – натуральное число, то .

Следствие 3 (Предел целой рациональной функции). Если

, то ,

т. е. при отыскании предела целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением.

Следствие 4 (Предел дробно-рациональной функции). Если

,

то ,

т. е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке: .

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида .

Отметим также, что

;

;

.

Раскрытие неопределенностей .

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела отношения многочленов , нужно

1) определить тип неопределенности,

2) если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на двучлен .

Замечание. Двучлен в дальнейшем будем называть «критическим множителем»

Решение задачи 1-2 типового варианта

Пример 1. Найти указанный предел .

▲

. ▼

Замечание. Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль . Если – корень многочлена, то этот многочлен делится без остатка. По теореме Безу в этом случае каждый многочлен (в числителе и знаменателе) может быть представлен в виде произведения критического множителя на некоторый многочлен. Таким образом, нахождение предела сводится, прежде всего, к выделению в числителе и знаменателе критического множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность . Для разложения на множители можно воспользоваться теоремой Виета, или использовать деление «уголком» на «критический множитель»: .

Пример 2. Найти указанный предел

▲ . ▼

Раскрытие неопределенностей .

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела дроби, содержащей иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равен нулю, надо

Поиск по сайту: