Связь между консервативной силой
И потенциальной энергией
Найдем связь между консервативной силой и потенциальной
энергией на примере силы тяжести и силы упругости.
Потенциальная энергия части в поле сил тяжести определяется
выражением (12.3). Если частица находится в точке с координатой у (рис.
12.1), то в формуле (12.3) высоту h надо заменить на y. Тогда получим:
Eп = mgy ⇒ = mg
Из рис.12.1: mgy = -mg . Сравнивая два последних уравнения, находим
mgy = - . (13.1)
Для силы упругости:
Eп = =>
Из рис. (12.2): ⇒
Fуп,x = - (13.2)
Соотношения типа (13.1),(13.2) справедливы для консервативной
силы и в общем случае:
¶Eп
, (13.3)
¶l
r
где Fl - проекция вектора консервативной силы F на направление оси,
обозначенной индексом «l ».
Выберем направления, совпадающие с координатными осями «x»,
«y», «z». Тогда из (13.3) получим:
¶ Eп ¶ Eп ¶ Eп
- ;- ;- .(13.4)
r Выразим вектор F через его проекции:
F = Fxex + Fyey + Fzez (13.5)
Подставим (13.4) в (13.5):
¶ Eп r ¶ Eп r ¶ Eп r
¶ x ¶ y ¶ z
r r r
| |
r r r
r
F = - ex - ey - ez . (13.6)
Если имеется некоторая скалярная функция f(x,y,z), то выраже-
ние
¶ f ¶ f ¶ f
- ex - ey - ez
¶ x ¶ y ¶ z
является вектором. Этот вектор называется градиентом функции f и обо-
значается символом
grad f либо Ñf
( Ñ называется оператором “набла”, Ñf читается: "набла эф” или “гра-
диент эф”).
Таким образом, соотношение (13.6) можно записать в виде:
. (13.7)
Вектор консервативной силы равен градиенту потенциальной энергии,
взятому с противоположным знаком. (Фактически уравнение (13.7) -
сокращенная запись уравнения (13.6)).
Градиент функции Ñf - это вектор, направленный в сторону
быстрейшего возрастания функции f. Знак «-» в уравнении (13.7) показы-
вает, что консервативная сила направлена в сторону быстрейшего убыва-
ния потенциальной энергии. Например, в поле сил тяжести потенциальная
энергия убывает с уменьшением высоты, в этом же направлении (т.е.
«вниз») направлен вектор силы тяжести.
Работа неконсервативных сил и механическая
Энергия
В общем случае на систему тел действуют кроме консервативных
сил и другие силы, которые в дальнейшем будем называть неконсерва-
тивными. Работа всех сил А, действующих на систему, равна сумме работ
консервативных сил Ак и сил неконсервативных Анк:
А = Ак + Анк (14.1)
Тогда:
Анк = А - Ак (14.2)
Работа всех сил определяется соотношением (11.12), а работа консерватив-
ных сил - соотношением (12.1). Подставим эти уравнения в (14.2):
Анк = (Eк,II - Eк,I) - (Eп,I - Eп,II) =>
Величина
E = Eк + Eп (14.3)
называется механической энергией (или полной механической энергией).
Следовательно, работа неконсервативных сил равна приращению (изме-
нению) механической энергии системы:
Анк =ЕI – ЕII =∆E (14.4)
Поиск по сайту:
|