Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Точек. Центр масс. Импульс системы. Второй закон



Ньютона для твердых тел.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц (рис. 7.1). Силы

взаимодействия между телами называются внутренними, (на рис. 7.1 это

r r

F12 и F21); силы взаимодействия тел системы с остальными телами назы-


rr

ваются внешними (силы F1 , F2 ). Запишем второй закон Ньютона (урав-

нение (6.1)) для каждой частицы:

 

Рис.7.1

 

 
 
частица 1: r r


r

F1 + F12 = dP1

dt

частица 2: r r

r

F2 + F21 = dP2

dt

Сложим эти уравнения:

r
r dP1 dt

r r r r

F1 + F2 + F12 + F21 = dP2 + dt

 

Согласно 3 закону Ньютона сумма внутренних сил равна нулю:

i i
∑ ∑
F P
∑ ∑
r r r r   rr = (P1 + P2 )     r r i i rrrr F F P P

F12 + F21 = F12 - F12 = 0

Сумма производных равна производной от суммы:

rr

F1 + F2 d

dt

Аналогично можно получить для произвольного числа частиц:

d

= , (7.1)

dt

rr

где Fi - внешняя сила, действующая на i-ую частицу, Pi - импульс i-ой

частицы. Обозначим

= ; = , (7.2)


rr

где F - сумма внешних сил; P - называется импульсом системы.

Следовательно, для системы частиц второй закон Ньютона имеет вид:

r

dP

r F
=

, (7.3)

dt

rr

где F - сумма внешних сил; P - импульс системы.

Точка пространства, положение которой определяется радиус-

r

вектором rc , равным

r
( × )
r mi ri (7.4)

rc =

mi

называется центром инерции или центром масс системы частиц. В урав-

r

нении (7.4) mi,ri соответственно масса и радиус-вектор i-той частицы.

Сумма масс частиц есть масса системы:

= (7.5)

i
m m

Возьмём производную по времени от уравнения (7.4):

i
i
m r
drC d drC1ddtdtdtmdt
   id 1 ∑
rr ∑ rr
m
   
m
i i

r

= ⇒ = ( )⇒

 
 

 


= (7.6)

dt m dt

Производная слева в (7.6) есть скорость центра масс, а производная спра-

ва - скорость i-ой частицы.

mi
r r uС = ; ui = uС = ui

r drС r dri r 1 r

dt dt m

r
r

Т.к. miui = Pi (импульс i-ой частицы), то

r

Pi

uc =
m
r

(7.7)

r Pi =
r
∑ r P

muc

Учитывая (7.2), имеем:

r
=
mu
c

(7.8)

Из (7.7) и (7.8) следует: импульс системы равен произведению

массы системы на скорость центра масс. Подставим (7.8) в (7.3):


 
 


r d(mu ) duC

F

dt

r

C r r

= aC , где aC - ускорение центра масс, то

Т.к.
dt
r F
r
mac

= (7.9)

Т.е. сумма внешних сил равна произведению массы системы на

ускорение центра масс. Очевидно, что второй закон Ньютона для одной

частицы есть частный случай закона для системы частиц.

Всё сказанное можно применить для любого тела, представив его

состоящим из огромного числа материальных точек. Если тело является

абсолютно твёрдым, то взаимное расположение частиц такого тела при

его движении не меняется. Следовательно, не меняется положение центра

масс частиц (т.е. тела) относительно самого тела. Таким образом, второй

закон Ньютона (7.3) с учетом (7.8) и (7.9) описывает движение центра

масс твердого тела - фактически описывает движение материальной точ-

ки с массой тела, и расположенной там, где находится центр массы тела

(отметим, что центр массы тела совпадает с его центром тяжести). Сумма

внешних сил, действующих на тело в этом случае равна сумме всех сил,

приложенных к этому телу.

Если имеется система твёрдых тел, то, поскольку каждое из тел

описывается вторым законом Ньютона как материальная точка, то всё

вышеизложенное (уравнения (7.3), (7.4), (7.8), (7.9)) справедливо и для

системы твердых тел.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.