Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Глава 5. Колебания. Волны



Колебания. Дифференциальное уравнение

Гармонических колебаний. Кинематическое уравнение

Гармонического колебания. Амплитуда, фаза, частота,

Период колебаний

Колебаниями называются процессы, отличающиеся определенной

степенью повторяемости (например: качание маятника, колебания стру-

ны, изменение тока в колебательном контуре и т.п.).

Свободными или собственными колебаниями называют такие

колебания, которые происходят в системе, представленной самой себе,

после того как ее вывели из положения равновесия.

При вынужденных колебаниях на систему действует внешняя

периодически меняющаяся сила. Частный случай вынужденных колеба-

ний - автоколебания: моменты действия вынуждающей силы задает сама

система.

В § 16 было показано, что

вблизи положения равновесия, т.е.

минимума потенциальной энергии,

движение частицы имеет колеба-

тельный характер. Вберем нулевой

уровень отсчета Еп и начало коор-

динат так, что бы минимум Еп =0

и соответствовал точке х=0

(рис.17.1).

Вблизи минимума, т.е. при

достаточно малых «x», любая

функция f(x) имеет вид параболы.

Следовательно, для достаточно

Рис 17.1

малых x

Еп(х)~х2 (17.1)

Если выполняется условие (17.1), движение называют малыми колебани-

ями. Обозначим коэффициент пропорциональности в соотношении (17.1)

k/2, где «k» некоторая постоянная. Тогда

kx2

Eп(x) = (17.2)

Из уравнения (13.3) получим:


 

¶ Eп

(17.3)

Fx = - = -kx

¶ x

Следовательно, вблизи минимума потенциальной энергии на частицу дей-

ствует такая же сила, как сила упругости (уравнение (5.3)). Ее называют

квазиупругой силой.

Запишем второй закон Ньютона:

r

2

r d x
&&

F = ma Fx = max . Т.к. ax = = x

dt2

       
   
k m
 
&& && &&
 


то - kx = mx ; mx + kx = 0 ; x + x = 0 (17.4)

 
 
k m

 


Величина > 0 ; обозначим ее w02:

k

= ω0

(17.5)

m

Подставим (17.5) в (17.4):

&&
x + ω0 x = 0

(17.6)

Уравнение (17.6) называется дифференциальным уравнением гармониче-

ских колебаний. Решением дифференциального уравнения (17.6) являют-

ся функции, имеющие вид:

¢

x = A cos(w0t + a ) ; x = Asin(w0t + a ) (17.7а)

где A, a, a - некоторые константы (то, что (17.7а) решение (17.6) можно

¢

проверить непосредственной подстановкой). Уравнения (17.7а) называют-

ся кинематическим уравнением гармонических незатухающих колебаний.

(Отметим, что рассматриваемые колебания являются собственными)

Поскольку cosj = sin(j - p/2), то от первого уравнения (17.7а)

всегда можно перейти ко второму и наоборот. В дальнейшем, для опре-

деленности, будем использовать первое из уравнений (17.7а):

x = A cos( w t + a )

(17.7)

В уравнении (17.7) x- величина отклонения от положения равновесия;

w0- называется циклической частотой; j = w0t + a - называется фазой

колебания (измеряется в радианах); при t = 0 j = a, a - называется

начальной фазой. Т.к. максимальное значение cosj = 1, то из (17.7) полу-

чим модуль максимального значения отклонения от положения равнове-

сия |Xm|:


xm = A

Величина А - называется амплитудой колебания. На рис.(17.2) показан

график гармонических колебаний (т.е. график уравнения (17.7)).

Промежуток времени T, разделяющий два положения, у которых

фаза отличается на 2 p называется период колебания (рис 17.2). Из опре-

деления периода T получим:

 

 

Рис 17.2

 

j1=w0t1+a; j2=w0t2+a;

j1 - j2=2p⇒ w0 (t2 –t1 )=2p⇒

2π ω0

ω0T = 2π ; T = (17.8)

Другими словами период - это время одного полного колебания:

T=t/N, (17.8а)

где N число колебаний совершенных за время t.

Частота колебаний n - число колебаний в единицу времени:

 
 
n= N/ t


Из сравнения с уравнением (17.8а) видно, что частотой колебаний n

обратна периоду:

1 ω0 T 2π

ν = = (17.9)

Из уравнений (17.8), (17.9) получим единицы измерения величин T и n:

[T]=c ; [n]=1/c=Гц (Герц)


 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.