Глава 5. Колебания. Волны
Колебания. Дифференциальное уравнение
Гармонических колебаний. Кинематическое уравнение
Гармонического колебания. Амплитуда, фаза, частота,
Период колебаний
Колебаниями называются процессы, отличающиеся определенной
степенью повторяемости (например: качание маятника, колебания стру-
ны, изменение тока в колебательном контуре и т.п.).
Свободными или собственными колебаниями называют такие
колебания, которые происходят в системе, представленной самой себе,
после того как ее вывели из положения равновесия.
При вынужденных колебаниях на систему действует внешняя
периодически меняющаяся сила. Частный случай вынужденных колеба-
ний - автоколебания: моменты действия вынуждающей силы задает сама
система.
В § 16 было показано, что
вблизи положения равновесия, т.е.
минимума потенциальной энергии,
движение частицы имеет колеба-
тельный характер. Вберем нулевой
уровень отсчета Еп и начало коор-
динат так, что бы минимум Еп =0
и соответствовал точке х=0
(рис.17.1).
Вблизи минимума, т.е. при
достаточно малых «x», любая
функция f(x) имеет вид параболы.
Следовательно, для достаточно
малых x
Еп(х)~х2 (17.1)
Если выполняется условие (17.1), движение называют малыми колебани-
ями. Обозначим коэффициент пропорциональности в соотношении (17.1)
k/2, где «k» некоторая постоянная. Тогда
Eп(x) = (17.2)
Из уравнения (13.3) получим:
¶ Eп
Fx = - = -kx
¶ x
Следовательно, вблизи минимума потенциальной энергии на частицу дей-
ствует такая же сила, как сила упругости (уравнение (5.3)). Ее называют
квазиупругой силой.
Запишем второй закон Ньютона:
2
F = ma ⇒ Fx = max . Т.к. ax = = x
dt2
то - kx = mx ; mx + kx = 0 ; x + x = 0 (17.4)
Величина > 0 ; обозначим ее w02:
k
(17.5)
m
Подставим (17.5) в (17.4):
(17.6)
Уравнение (17.6) называется дифференциальным уравнением гармониче-
ских колебаний. Решением дифференциального уравнения (17.6) являют-
ся функции, имеющие вид:
x = A cos(w0t + a ) ; x = Asin(w0t + a ) (17.7а)
где A, a, a - некоторые константы (то, что (17.7а) решение (17.6) можно
проверить непосредственной подстановкой). Уравнения (17.7а) называют-
ся кинематическим уравнением гармонических незатухающих колебаний.
(Отметим, что рассматриваемые колебания являются собственными)
Поскольку cosj = sin(j - p/2), то от первого уравнения (17.7а)
всегда можно перейти ко второму и наоборот. В дальнейшем, для опре-
деленности, будем использовать первое из уравнений (17.7а):
(17.7)
В уравнении (17.7) x- величина отклонения от положения равновесия;
w0- называется циклической частотой; j = w0t + a - называется фазой
колебания (измеряется в радианах); при t = 0 j = a, a - называется
начальной фазой. Т.к. максимальное значение cosj = 1, то из (17.7) полу-
чим модуль максимального значения отклонения от положения равнове-
сия |Xm|:
xm = A
Величина А - называется амплитудой колебания. На рис.(17.2) показан
график гармонических колебаний (т.е. график уравнения (17.7)).
Промежуток времени T, разделяющий два положения, у которых
фаза отличается на 2 p называется период колебания (рис 17.2). Из опре-
деления периода T получим:
Рис 17.2
j1=w0t1+a; j2=w0t2+a;
j1 - j2=2p⇒ w0 (t2 –t1 )=2p⇒
ω0T = 2π ; T = (17.8)
Другими словами период - это время одного полного колебания:
T=t/N, (17.8а)
где N число колебаний совершенных за время t.
Частота колебаний n - число колебаний в единицу времени:
Из сравнения с уравнением (17.8а) видно, что частотой колебаний n
обратна периоду:
ν = = (17.9)
Из уравнений (17.8), (17.9) получим единицы измерения величин T и n:
[T]=c ; [n]=1/c=Гц (Герц)
Поиск по сайту:
|