Математический маятники

Пружинный маятник - это твердое тело, соединенное с пружиной

и совершающее колебания в результате действия силы упругости. Оче-

видно, что действие силы упругости аналогично действию квазиупругой

силы, рассмотренной в § 17. Следовательно, пружинный маятник совер-

шает гармонические колебания с циклической частотой w₀, равной (урав-

нение (17.5)):

, (20.1)

где k – жесткость пружины.

Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания

под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей

через центр масс

(рис.20.1). В поло-

жении равновесия

линия, соединяю-

щая ось вращения и

центр тяжести, рас-

положена верти-

кально. При коле-

баниях все точки

маятника и эта ли-

ния будет откло-

няться от положе-

Рис.20.1 ния равновесия на

некоторый угол j.

При этом возникает момент силы, который стремиться вернуть маятник в

положение равновесия.

N_z = Fd ⇒ F = mg ; d = l × sinj ,

где m - масса маятника, d - плечо силы, l - расстояние от оси до центра

тяжести (точка “с”). Таким образом:

N_z = -mg ×l×sinj . (20.2)

Знак “-” связан с тем, что отклонение маятника происходит в одну сторо-

ну (на рис. “против часовой стрелки”), а момент силы вращает в противо-

положную сторону (на рис. “по часовой стрелке”).

Запишем закон динамики вращательного движения

N_Z = I_Z β = I_Zj ⇒-mg×l×sinj = I_Zj

Для малых углов отклонения (j < 0,1 рад.), т.е. для малых колебаний

sinj » j , следовательно:

- mg ×l×j = I_zj ⇒ j + j = 0

Обозначим ω₀ = , (20.3)

тогда j + ω₀j = 0 , (20.4)

т.е. получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Следовательно, маятник совершает гармонические колебания

j = j_m cos(w₀t +a) ,

с амплитудой колебаний j_m , циклической частотой w_0, периодом коле-

баний Т:

I_z

, (20.5)

mgl

где I_z – момент инерции относительно оси вращения.

Математический маятник представляет собой невесомую и нерас-

тяжимую нить, на которой подвешена материальная точка. Его можно

рассматривать как частный случай физического маятника. Для матери-

альной точки

I_z = ml² ,

где в случае математического маятника l - длина нити. Следовательно,

для такого маятника получим:

mgl

ml²

l

(20.6).

g

Затухающие колебания.

Поиск по сайту: