Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Энергия при вращательном движении

Рассмотрим тело, центр инерции

которого (точка “O”) в начальном поло-

жении (I) имеет скорость u1, в конечном

(II) – u2; центр инерции двигается по тра-

ектории «l»(рис.11.1); тело вращается

вокруг некоторой оси; направление оси в

пространстве не меняется.

Найдем работу, которая совер-

шается при таком движении. Движение

центра инерции описывается вторым

законом Ньютона (§7).

r

r

F = ma ,

r (11.1)

Работа при поступательном движении Ап результирующей силы F равна

(уравнение(10.4)):

r r

Aп = ∫ Fdl (11.2)

l

Вращательное движение описывается законом динамики враща-

тельного движения (уравнение(9.16)):

NZ = IZ b (11.3)


 

Работу при вращении Авр найдем из выражения (10.8):

∆j

Aвр = ∫ NZdj , (11.4)

Работа A всех сил будет равна:

r r

Dj

A = Aп + Aвр = ∫ Fdl + ∫ NZdj , (11.5)

l 0

Подставим в (11.5) уравнения (11.1) и (11.3):

r

Dj

r

A = ∫ madl + ∫ I bdj . (11.6)

Z

l 0

r
r
r du dw dt dt r dl dj

Т.к. a = , b = , то:

Dj

A = ∫ mdu + ∫ IZdw . (11.7)

dt dt

l 0

 
 
r dl
r

 


Учтем, что u = ;

Следовательно:

 

A = ∫ mυdυ + ∫ IZωdω (11.8)

u1 ω1
r

В уравнение (11.8) учтено: в первом интеграле переменная - это u , по-

этому пределы надо брать для этой переменной (в начале пути u1,

в конце – u2); аналогично для второго интеграла – переменная w

(в начале пути w1, в конце -w2). Постоянные m и Iz - вынесем за знак

∫ . Тогда

r2 udu = d( ) : u =uu cos 0 =u2 ⇒ r r u2 w2 2 2   u2 w1 mu2 w2 2 2

r r u r2

udu = d( ) ; wdw = d( ) (11.9)

С учетом (11.9), получим:

A = + IZ

u1 w1


 
 
2 2 2 2 A = ( - ) + ( - ) 2 2 2 2 A = ( + ) - ( + )

mu2 mu1 IZw2 IZw1

,   . (11.10)

2 2 2 2

или

mu2 IZw2 mu1 IZw1

2 2 2 2

Величина

 
 
mu2 IZw2 2 2   mu2     IZw2


Eк = + (11.11)

называется кинетической энергией. Первое слагаемое

 

Eк.п = (11.11а)

называется кинетической энергией поступательного движения и связано

со скоростью центра инерции. Второе слагаемое

 

Eк.в = (11.11б)

называется кинетической энергией вращательного движения. Следова-

тельно:

A = Eк,II - Eк,I = DEк , (11.12)

- работа всех сил, действующих на тело, равна приращению (изменению)

кинетической энергии.

Если тело не вращается (т.е. двигается только поступательно), то

2 2 A = DEк = - 2 2 Если тело только вращается, то A = DEк = -

mu2 mu1

2 2

Izw2 Izw1

2 2

Пример: колесо катится со скоростью u

(рис.11.2). В этом случае колесо еще и вращается

относительно оси, проходящей через центр тяжести

колеса (точка “O”):

mu2 Izw2

Eк = +

2 2

Найдем связь w и u. Пусть центр колеса прошел путь l, равный длине

окружности колеса l = 2pR. Время этого движения t равно t = l/u. За


 

это время каждая точка колеса (например, точка “A”) совершила полный

оборот, т.е. повернулась относительно оси вращения на угол 2p

 
2p 2p 2p u t l 2pR R Следовательно: Eк = +       mu2 mR2u2 2 2R2     r

w = = u = u =

mu2 Iz u

2 2 R

Момент инерции колеса (обруч) относительно оси, проходящей через его

центр (точку “O”) и перпендикулярной плоскости колеса, равен

Iz = mR2 . Таким образом

Eк = + ⇒ Eк = mu2




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.