Относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера

Рассмотрим вращательное движение частицы (материальной точки)

вокруг оси Z (рис. 9.1,ось Z перпендикулярна плоскости рисунка). В

дальнейшем будем рассматривать вращение относительно оси, направ-

ление которой в пространстве не меняется.

Скорость частицы u перпендику-

лярна радиусу вращения R . Следователь-

но, согласно обозначениям §8

u_t=u

Из (8.11) получим:

L_Z=PtR=mu_t=mRu.

Так как u=wR, то

L_z = mR²ω

Рис.9.1

I_z = mR²

называется моментом инерции материальной точки относительно оси

вращения. Из (9.1) и (9.2) следует:

L_z = I_zw

В общем случае частица имеет ускорение a_t , создаваемое силой F_t

(рис.9.1). Запишем второй закон Ньютона:

F_τ = ma_τ

Для неменяющегося в пространстве направления оси вращения (т.е. для

рассматриваемого случая )

a_t =bR ⇒F_t=mRb (9.4)

Помножим (9.4) на R:

F_tR=mR²b

Учитывая (8.7) и (9.2), получим

N_Z=I_Zb (9.5)

Уравнение (9.5) обычно называют законом динамики вращательного дви-

жения материальной точки. Так как

β = ⇒

N_z = I_z = (I_zω)

С учетом (9.3) из последнего соотношения находим:

N_z = (9.6)

Рассмотрим твердое тело как систему, состоящую из множества

частиц. Запишем уравнение (9.6) для каждой из них:

dL_{z,i , (9.7)}

N_z,i =

dt

где i - номер частицы. Сложим эти уравнения:

N_z,i = = L_z,i

Обозначим

(9.9)

где N_z момент силы относительно оси, действующий на тело, L_z мо-

мент импульса тела. Следует учесть, что при вычислении N_z моменты

внутренних сил сократятся. Поэтому N_z - суммарный

момент внешних сил относительно оси вращения. Таким образом

dL_z

(9.10)

dt

Уравнение (9.10) обычно называют правилом моментов.

Из (9.9) и (9.3) получим:

L_z = L_z,i = I_z,iw , (9.11)

L_Z,i=m_iR_i², (9.12)

Где m_i, R_i - соответственно масс и радиус вращения i-ой точки.

Т.к. угловая скорость всех точек твердого тела одинаковая и равна угло-

вой скорости вращения твердого тела, индекс «i» у w в уравнении (9.11)

не пишется (угловое ускорение b для всех точек тоже одинаковое). Из

(9.11) и (9.12) следует

L_z = w × R_i ² (9.13)

Величина

I_z = I_z,i =

называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Видно,

что I_Z зависит от положения оси вращения относительно тела, т.к. от

этого зависит R_i. Следовательно, для различных осей I_Z разное. Для

данной оси I_Z абсолютно твердого тела не зависит от скорости враще-

ния т.к. взаимное расположение частиц такого тела не меняется и , сле-

довательно, R_i от скорости не зависит.

Подставим (914) в (9.13)

L_Z=I_Zw (9.15)

Таким образом, момент импульса тела равен

произведению момента инерции тела на угло-

вую скорость вращения.

Подставим (9.15) в (9.10):

d(I_zω) dω

dt dt

Т.к = β ⇒

N_Z=I_Zb (9.16)

т.е. момент силы действующей на тело, равен

произведению момента инерции тела на его угловое ускорение. Уравне-

ние (9.16) обычно называют законом динамики вращательногодвиже-

ниятвердого тела относительно неподвижной оси.

Из изложенного следует, что момент инерции тела надо каждый

раз рассчитывать для той оси, относительно которой тело вращается.

Есть таблицы (в учебниках, пособиях и задачниках) в которых приводят-

ся формулы для расчета I_Z некоторых тел относительно определенных

осей вращения (обычно для осей, проходящих через центр тяжести).

Пусть известен момент инерции I_z,0 относительно некоторой

оси , проходящий через центр тяжести “C” (ось Z₀ на рисунке 9.2). Надо

найти I_z относительно другой оси Z , параллельной оси Z_0. Согласно

теореме Штейнера, I_z равен:

I_Z =I_Z,0+ma² , (9.17)

где m - масса тела , a - расстояние между ося-

ми.

Следует также учесть, что любое тело можно

представить как “сумму” нескольких тел

(например, на рис.9.3 - как два тела). Тогда:

m R^{2 = mi} R^{2 + miRi2 ,}

где первая сумма берется для части 1, вторая - части 2.

Из определения момента инерции, следует:

m_i R_i ^{; Iz,2 =} m_i R_i ^;

где I_Z,1 и I_Z,2 - моменты инерции 1-ой и 2-ой части. Поэтому

I_Z= I_Z,1+ I_Z,2

Аналогичные рассуждения справедливы для “разбиения” абсо-

лютно твердого тела на любое число частей. Следовательно , для тел

сложной формы можно искать моменты инерции каждой из выделенных

“частей “ и затем их сложить .Такое свойство физических величин назы-

вается аддитивностью. Момент инерции тела относительно данной оси

является величиной аддитивной. (Напомним, что масса тела тоже величи-

на аддитивная. Например, для рис.9.3 масса тела m равна

m = m₁ + m₂).

Основные формулы поступательного и

вращательного движения.

Поступательное движение Вращательное движение

величина, закон формула величина, закон формула

изменение по-

ложения точи

скорость

поступательно-

го движения

жения

dj dt dw dt

w = ускорениеприr

r

dS dt

b = Iz

u =

ускорение при

поступательном

вращательном движении момент инерции момент силы момент импульса Закон динамики вращательного движения. Пра- вило моментов Работа Кинетическая энергия

движении

масса

сила

= F^d

N

z

r

P = mu r F = ma

r

r

r

импульс

Lz =I w NZ = IZ b

z

Второй закон

Ньютона

dLZ dt

v F =

dP

NZ =

dt

r r dA = FdS mu

* Работа

dA = dj Izw2

N

z

* Кинетическая

энергия

(* Последние две темы см. § 10)

 

⇐ Предыдущая3456789101112131415161718Следующая ⇒

 

Поиск по сайту: