Преобразования Лоренца, следствия из них

Специальная теория относительности Эйнштейна (релятивистская

механика) основана на двух постулатах (утверждениях), которые носят

названия принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства

скорости света

Принцип относительности Эйнштейна является распространени-

ем принципа относительности Галилея (механического принцип относи-

тельности) на все физические явления. Согласно этому принципу все за-

коны природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Сле-

довательно, уравнения, выражающие законы природы, инварианты по

отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциаль-

ной системы отсчета к другой.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость

света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не

зависит от движения источников и приёмников света

Возьмём две инерциальных системы отсчета, аналогичных тем,

что рассмотрены в § 25: система K неподвижная, система K¢ движется

относительно системы K со скоростью u₀ . Для того чтобы выполнялись

постулаты Эйнштейна переход от координат и времени, отсчитанных в

системе K¢ , к координатам и времени, отсчитанных в системе K , должен

выполнятся согласно следующим соотношениям:

x +u₀t t + x u₀ c²

2 2

лённый промежуток времени. Свяжем с

этой точкой систему отсчета K¢- точка

относительно системы K¢ покоится, си-

стема K¢движется относительно системы

K со скоростью u₀ (рис. 25.1). Началу

события в системе K¢ соответствует неко-

торый момент времени t¢₁, концу события

– t¢₂, событие происходит в одной и той же точке с координатой x¢. Дли-

тельность события в этой системе координат равно ¢ - t₁

∆t₀ - это время, измеренное по часам, движущимся со скоростью тела, в

котором происходит событие. Это время называют собственным време-

нем тела.

Найдем длительность этого события в системе K¢. В этом случае

длительность события определяется по неподвижным часам. Началу со-

бытия в этой системе отсчёта соответствует момент времени t₁, концу

события – t₂. Время t₁и t₂ согласно преобразованиям Лоренца (25.1) рав-

ны:

t₁ = t₂ = (25.2)

Длительность события в системе K:

∆t=t₁-t₂ (25.3)

Подставим в (25.3) уравнения (25.2):

∆t = t₂ - t₁ = ⇒

2

(25.4)

2

Интервал времени Dt - это длительность события измеренная по непо-

движным часам, Dt₀ - длительность события измеренная по часам дви-

жущимся со скоростью u₀ . Из уравнения (25.4) следует, что Dt > Dt₀ ,

поэтому можно сказать, что движущееся часы идут медленнее, чем поко-

ящиеся, а собственное время наименьшее.

II. Длина тел в разных системах. Пусть имеется стержень, расположен-

ный вдоль оси x и двигающийся со скоростью u₀. Аналогично пункту I

можно показать, что длина стержня l₀ в системе K¢ (т.е. длина покояще-

гося стержня) и длина стержня l в системе K (т.е. длина, измеренная в

системе относительно которой он движется) разная. Повторяя рассужде-

ния пункта I, получим:

1 -u₀ c²

Видно, что l < l₀ , т.е. у движущихся тел размеры их в направлении дви-

жения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это яв-

ление называется лоренцевым сокращением.

III. Сложение скоростей. Для упрощения формул будем считать, что

скорость частицы параллельна оси х. Тогда модуль скорости частицы в

системе K и K¢ соответственно равен:

¢

υ = υ_x = ; υ' = υ'_x =

dt dt

¢ ¢ ¢ ¢

dx = ⇒ dx = dt ⇒

1-u₀ с² 1-u₀ с²

dx = dt , (25.6)

dt + dx u₀ /c² ¢ ¢

1-u₀ с² 1-u₀ с²

dt = dt . (25.7)

2

Разделим уравнение (25.6) на (25.7) и учтём (25.5):

u'+u₀

. (25.8)

1+u'u₀ с²

В случае малых скоростей u₀ << c формула (25.8) переходит в формулу

сложения скоростей классической (нерелятивистской) механики

(§ 24,ур-е (24.2)).

Пусть скорость u'= c . Из (25.8) получим:

u = = c

1+ cu₀ с²

что согласуется со вторым постулатом Эйнштейна.

Основные понятия релятивистской динамики

В релятивистской динамике импульс частицы равен:

r m₀υ r

, (26.1)

1-υ² c²

m₀

(26.2)

1- υ² c²

В этих уравнениях u - скорость частицы, m₀ - величина, не зависящая от

скорости тела. Сравнивая уравнения (26.1),(26.2) с выражением для им-

пульса в классической механике (§ 6, уравнение(6.3)), можно сказать, что

и в релятивистской динамике импульс равен произведению массы m на

скорость. Однако в этом случае масса зависит от скорости по закону

(26.2). В такой трактовке m₀ называют массой покоя, а m - релятивист-

ской массой или массой движения.

Релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид:

r r

(26.3)

1- υ² c^{2 }

Для того чтобы найти энергию поступим так же, как в § 11 - работа силы

равна приращению энергии:

Fds = dE (26.4)

Подставив в (26.4) уравнение (26.3) и проинтегрировав результат, можно

получить:

E =

Если частица покоится (u = 0), получим энергию покоя E₀:

E₀ = m₀c² (26.6)

(В энергию Е не входит потенциальная энергия во внешнем силовом по-

ле).

Кинетическая энергия Е_к равна разности энергий движущейся

частицы и энергии покоя:



E_к = E - E₀ = m₀c - 1^{ . (26.7)}

2 2

 

При u = c подкоренное выражение в знаменателе в уравнениях

релятивистской динамики стремится к ¥ . Если , то эти уравнения

теряют смысл. Это означает, что частица с массой покоя не может

двигаться со скоростью света

Все вышеприведенные уравнения (конечно, за исключением

уравнений (26.5),(26.7)) при u<<c переходят в уравнения классической

физики

Исключив из (26.1) и (26.5) скорость u, получим связь между

энергией и импульсом:

E = c p² + m₀c² . (26.8)

Из этих же уравнений следует:

p = E υ c² . (26.9)

При из (26.8) получим:

E=cp (26.10)

Это соотношение согласуется с (26.9) если u=c. Следовательно, частица

с массой покоя равной нулю, всегда движется со скоростью света. В част-

ности такой частицей является фотон. Импульс такой частицы может

быть найден из соотношения (26.10).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Математическое введение ......................................... 1

Глава 1. Кинематика ................................................ 8

§ 1. Механическое движение. Система отсчета.

Материальная точка. Абсолютно твердое

тело. Границы применимости классической

механики ............................................................. 8

§ 2. Радиус вектор, перемещение, траектория,

путь. Вектор скорости, модуль вектора

скорости. Уравнение пути................................ 9

§ 3. Ускорение. Нормальное и тангенциальное

ускорение. ........................................................... 12

§ 3a Вывод формул для тангенциального и

нормального ускорений.................................. 14

§ 4. Вращательное движение. Угловая скорость.

Угловое ускорение. Период, частота. Связь

между линейными и угловыми характеристи-

ками ..................................................................... 16

Глава 2. Динамика .................................................... 22

§ 5. Первый закон Ньютона. Инерциальные

системы отсчета. Понятие силы. Силы в

механике.............................................................. 22

§ 6. Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.

Третий закон Ньютона. Понятие

состояния ............................................................ 24

§ 7. Второй закон Ньютона для системы

материальных точек. Центр масс.

Импульс системы. Второй закон Ньютона

для твердых тел. ............................................... 25

§ 8. Момент силы и момент импульса относительно

точки и оси. Плечо силы ................................... 29

§ 9. Момент импульса и момент инерции тела

относительно оси. Уравнение моментов.

Закон динамики вращательного движения

твердого тела относительно неподвижной

оси. Теорема Штейнера ..................................... 31

Глава 3. Работа. Энергия .......................................... 36

§ 10. Работа. Работа при вращательном

движении. Мощность ........................................ 36

§ 11. Работа и кинетическая энергия. Кинетичес-

кая энергия при вращательном движении. ...... 38

§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потен-

циальная энергия и работа консервативной

силы. Потенциальная энергия в поле сил

тяжести, потенциальная энергия

упругой деформации.......................................... 41

§ 13.Связь между консервативной силой и

потенциальной энергией. .................................. 44

§ 14.Работа неконсервативных сил и

механическая энергия ........................................ 46

Глава 4. Законы сохранения в механике................ 47

§ 15. Закон сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения механической энергии........ 47

§ 16.Условие равновесия механической

системы. Потенциальная яма,

потенциальный барьер...................................... 49

Глава 5. Колебания. Волны...................................... 52

§ 17.Колебания. Дифференциальное уравнение

гармонических колебаний. Кинематическое

уравнение гармонических колебаний.

Амплитуда, фаза, частота, период колебаний.. 52

§ 18.Скорость и ускорение при гармонических

колебаниях. Энергия гармонических

колебаний............................................................ 55

§ 19.Сложение одинаково направленных

колебаний............................................................ 56

§ 20.Маятники. Пружинный, физический,

математический маятники................................. 58

§ 21 Затухающие колебания. Логарифмический

декремент затухания.......................................... 60

§ 22.Вынужденные колебания. ................................. 62

§ 23.Волны. Волны поперечные и продольные.

Волновая поверхность, фронт волны.

Уравнение плоской волны, длина волны,

волновое число. Фазовая скорость ................... 64

Поиск по сайту: