Раздел 1. Составление математических моделей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО СОСТАВЛЕНИЮ И ОПТИМИЗАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Методические указания

К практическим занятиям

ГУАП

Санкт-Петербург

Составитель: О.Л.Смирнов

Рецензент – кандидат технических наук, доцент Н. В. Соловьёв

Издание предназначено для студентов и магистров специальностей «Проектирование и технология электронных средств», «Лазерные системы в ракетной технике», «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», выполняющих практические занятия на дневных и вечерних факультетах, а также слушателей факультета повышения квалификации преподавателей.

Подготовлено к публикации кафедрой конструирования и технологии электронных и лазерных средств по рекомендации методической комиссии института радиотехники, электроники и связи Санкт-Петербургского Государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Предисловие

Появление сложных систем вызвало необходимость разработки методологии их проектирования. Проектирование включает цель, описание, формализацию, анализ и синтез оптимального объекта. На этапе его описания и формализации составляется математическая модель с помощью формул, уравнений, неравенств и логических операторов. На этапе анализа составляются математические модели внутреннего функционирования объекта и взаимодействия его с внешней средой. На этапе синтеза составляются постановки оптимизационных задач, связывающих векторы исходных данных, оптимизируемых переменных и систем ограничений с экстремизируемыми целевыми функциями объекта. Выбираются или создаются новые методы оптимизации управляемых переменных проектируемого объекта и разрабатываются алгоритмы и программы решения оптимизационных задач. В данном учебно-методическом пособии рассматривается методика составления математических моделей на основе словесного описания объекта, методика решения задач безусловной и условной оптимизации, методика решения задач линейного программирования с нецелочисленными, целочисленными и бинарными переменными, решение задач методом ветвей и границ и решение задач многокритериальной оптимизации. Для каждого раздела составлено до пятидесяти вариантов индивидуальных заданий, позволяющих обеспечить усвоение материала для потоков, состоящих из нескольких групп студентов.

Раздел 1. Составление математических моделей

Математика изучает модели объектов, т.е. целенаправленные и упрощенные их отображения [1]. Для создания моделей используются буквенные обозначения, математические символы и соотношения. Описание объекта и формулировка проблемы переводятся на язык математики и превращаются в математическую модель. Модель исследуется как математическая задача. Полученные результаты интерпретируются на языке исходной проблемы и после этого решается вопрос об их применении.

Для проведения математических исследований требуется выполнение 8 этапов [2]:

- определение цели исследования и изучение объекта;

- формулировка проблемы;

- сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

- построение математической модели;

- выбор вычислительного метода и создание алгоритма решения задачи;

- программирование алгоритма и отладка программы;

- проверка качества модели на контрольном примере;

- внедрение результатов на практике.

Чтобы определить цель и четко сформулировать проблему, нужно тщательно изучить объект. Для этого надо получить необходимые данные в исчерпывающем объеме. Результатом 4-го этапа должна быть формулировка проблемы в виде строгой математической задачи. Исходя из цели исследования и описания модели выбирают известный метод решения задачи или разрабатывают новый. Далее составляют алгоритм, определяющий порядок решения и программу для компьютера. Решают тестовые задачи и вводят при необходимости исправления в алгоритм и программу. Заключительный этап 8 проводится совместно заказчиками и разработчиками модели. Результаты математических исследований являются лишь рекомендацией к использованию их на практике. Окончательное решение вопроса зависит от заказчика.

Для составления математической модели объекта рекомендуется выполнение следующих этапов [2]:

- определение известных и неизвестных величин, а также предпосылок - что дано и что требуется найти;

- выявление важнейших факторов проблемы;

- выявление управляемых и неуправляемых параметров;

- математическое описание объекта уравнениями, неравенствами, функциями и иными отношениями взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными) исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи считаются заданными до построения модели. Значение неизвестных параметров вычисляются в результате исследования модели.

Важнейшими считаются факторы, которые влияют на конечный результат. Управляемыми считаются параметры, которые могут принимать произвольные числовые значения исходя из условий задачи, неуправляемыми являются те, значение которых зафиксировано и не может меняться.

Существуют модели описания и модели принятия решения. Описательные моделиотражают содержание и свойства объектов. С их помощью вычисляют числовые значения параметров и показателей. Модели принятия решения позволяют найти наилучшие значения показателей. Наименее сложными среди них являются оптимизационные модели, Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров.

Поиск по сайту: