Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.



3. Розширюючи множину цілих чисел, ми зазначали, що у новій числовій множині цілі числа повинні зберегтися. Для цього кожне ціле число буде позначати дробовим числом із знаменником 1. Наприклад, 0= , 1= , 2= тощо, де n – довільне ціле число. Тепер всі дроби можна розбити на класи, до кожного з яких входитимуть рівносильні дроби. Так, до першого класу віднесемо всі дроби рівносильні числу 0, до другого – рівносильні числу 1, тобто 1, , до наступного дроби, які дорівнюють , тобто , тощо. Всі дроби кожного класу визначають одне й те ж саме дробове число. Серед множини цих чисел є одне особливе. Це нескоротний дріб.

Означення: додатнім раціональним числом називається множина рівносильних йому дробів { , , , …, , …}.

Так, наприклад дробовим числом є множина рівносильних дробів , дробовим числом є множина рівносильних дробів . У математиці доведено теорему, яку ми приймемо без доведення і яка вказує на існування та єдиність такого дробу.

Теорема: для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один дріб, що його представляє, й такий, що чисельник і знаменник його взаємно-прості числа.

Означення: об’єднання множини невід’ємних цілих чисел та додатних дробів називають множиною невід’ємних раціональних чисел.

Символічно ця множина позначається так Q0. Перейдемо до розгляду властивостей цієї множини. Цілком зрозуміло, що в множині додатних раціональних чисел повинні зберегтися деякі властивості, що були в множині цілих чисел. Крім того, ця нова числова множина повинна мати і нові властивості, яких не було в попередній числовій множині.

Означення: числова множина називається щільною в собі, якщо між будь-якими її двома елементами міститься безліч елементів цієї множини.

Теорема:множина невід'ємних раціональних чисел щільна в собі.

Доведення.

Нехай а,bÎQ0. Приймемо, що a<b. Нехай додамо до обох частин . Тоді матимемо . Позначимо , тоді a<c<b. Отже, ми показали, що між додатними раціональними числами а і b є ще одне додатне раціональне число. Аналогічно можна довести, що і між числами а і с та с і b є додатні раціональні числа. Таким чином, теорему доведено.

Розглядаючи властивості множини цілих чисел, ми ввели поняття зчисленної множини, як множини, яка еквівалентна множині натуральних чисел. Покажемо, що і множина невід’ємних раціональних чисел має цю властивість, тобто є зчисленною.

Теорема: множина Q0 невід’ємних раціональних чисел зчисленна.

Доведення.

Для доведення теореми слід показати, що між елементами множини невід’ємних раціональних чисел і множини натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність. Подамо кожне невід’ємне раціональне число нескоротним дробом. Назвемо висотою нескоротного дробу суму його чисельника і знаменника. Впорядкуємо всі нескоротні дроби в порядку зростання висоти, а при однаковій висоті будемо розміщати їх в порядку зростання чисельників. Нехай дробу відповідає натуральне число 1, дробові – натуральне число 2, дробовому числу - натуральне число 3 тощо. Таким чином, маємо: Що й треба було довести.

З іншими властивостями множини невід’ємних раціональних чисел будемо знайомитися в процесі розгляду іншого матеріалу.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.