Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК), їх властивості.



6.Розглянемо два натуральних числа а та b. Якщо а b, то говорять, що а кратне b.

Означення: якщо а b, то число а називається кратним до числа b.

Із означення відношення подільності відомо, що із а bÛa=b·c. Якщо записати за допомогою характеристичної властивості множину чисел, кратних числу а, то будемо мати множину {a, 2a, 3a, … na…}. У множині чисел, кратних даному числу а є найменше число і немає найбільшого. За допомогою терміна “кратне” задається відношення подільності. Нехай задано множини чисел, кратних числу 3 і числу 5, тобто А={3,6,9,…3n,…} і B={5,10,15,…5n,…}. Утворимо перетин цих множин AÇB={15,30,45,…15n,…}. Множина AÇB задає нам спільні кратні чисел 3 і 5.

Означення: Будь-яке число, кратне числам а1, а2, а3,…,аn називається спільним кратним цих чисел.

Означення: найменше із спільних кратних чисел а1, а2, а3,…аk називається найменшим спільним кратним цих чисел.

Найменше спільне кратне прийнято позначати так: НСК(а1, а2, а3,…аk) або К(а1, а2, а3,…аk). Розглянемо властивості НСК, сформулювавши відповідні теореми для випадку двох чисел.

Властивість 1: кожне спільне кратне даних чисел ділиться на їх найменше спільне кратне.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох чисел. Нехай НСК(a,b)=k і CK(a,b)=d. Доведемо, що d k. Доведення проведемо методом від супротивного, припустивши, що , тобто, згідно означення операції ділення з остачею виконуються умови: d=kq+r і 0£r<k. Звідси r=d-kq. Оскільки d є спільним кратним (СК) чисел a і b, то . Оскільки k=НСК(a,b), то . Оскільки r<k, a£ k, то r – ділиться на число, більше, ніж воно саме, тобто число r є спільним кратним чисел a і b. Отже, СК(a,b)=r. А це можливо тоді, коли d–k·q=0, r=0, а це суперечить припущенню, що . Отже, припущення хибне і теорема доведена.

Властивість 2: якщо НСК(a,b)=k, то для будь-якого сÎN НСК(ac,bc)=ck.

Ця теорема говорить, що будь-який спільний множник можна виносити за знак НСК. Ввівши в попередніх пунктах означення дільника даного числа, ми з’ясували, що кількість дільників є завжди скінченною, найменшим дільником будь-якого числа є 1, а відношення „число b є дільником числа а” є оберненим до відношення „число а кратне числу b”.

Означення: всяке число, на яке ділиться кожне із чисел а1, а2, а3…ак називається спільним дільником цих чисел.

Означення найбільший із спільних дільників чисел а123…ак називається найбільшим спільним дільником чисел а1, а2, а3…ак і позначається НСД(а123…ак) або Д(а123…ак).

Означення: числа а1, а2, а3…ак називаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. .

Властивість 1: якщо , то НСК(a,b)=a, а НСД(a,b)=b.

Доведення: за умовою і , тобто СД(a,b)=b, оскільки a>b, то НСД(a,b)=b. За умовою , то число а є спільним кратним для чисел a і b. Оскільки a>b, то а=НСК(а, b). Теорема доведена.

Властивість 2: будь-який спільний дільник даних чисел є дільником їх спільного дільника.

Властивість 3: спільні дільники даних чисел можна виносити, як за знак найменшого спільного кратного, так і за знак найбільшого спільного дільника.

Властивість 4: найменше спільне кратне даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеному на найбільший спільний дільник цих чисел, тобто: .

Справедливість властивостей 2-4 приймемо без доведення.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.