Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.



9. У попередньому пункті ми довели теорему, яка визначила умови, при яких звичайний дріб перетворюється у десятковий. Цілком закономірно виникає запитання «а як бути у випадках, коли знаменник у канонічному розкладі містить прості множники, відмінні від 2 і 5?». Розглянемо звичайний дріб такий, що n=2m•5k•р, де р – простий множник, відмінний від 2 і 5. На практиці при спробі перетворити такі звичайні дроби у десяткові шляхом ділення чисельника на знаменник доводиться зустрічатися з двома випадками: 1) на певному кроці ділення одна цифра чи група цифр починає повторюватися одразу після коми; 2) на певному кроці ділення одна цифра чи група цифр починає повторюватися не одразу після коми. Наприклад, =0,232323…; =0,2131313…. В таких випадках говорять, що дістаємо нескінченний періодичний десятковий дріб.

Означення: нескінченний десятковий дріб, у якого одна цифра або група цифр весь час повторюється називається нескінченним періодичним дробом.

Означення: одна цифра або група цифр, яка повторюється, називається періодом.

Нескінченні періодичні дроби прийнято позначати так: 0,2131313…=0,2(13), 0,373373373…=0,(373). Число, утворене цифрами, що стоять після коми до періоду, називають доперіодичною частиною. У наведених прикладах: (13) і (373) – це періоди, а число 2 у першому дробові – доперіодична частина. В математиці доведено, що число цифр у періоді нескінченного періодичного дробу не перевищує n-1, де n знаменник звичайного дробу . Серед нескінченних періодичних дробів виділяють чисті та мішані періодичні дроби.

Означення: чистим періодичним дробом називається нескінченний десятковий дріб, у якого період починається одразу після коми.

Означення: мішаним періодичним дробом називається нескінченний десятковий дріб, у якого період починається не одразу після коми.

Таким чином, ми з’ясували, що при перетворенні звичайних дробів у десяткові, ми можемо зустрітися з двома випадками: 1) ділення чисельника на знаменник призводить до скінченного десяткового дробу; 2) ділення чисельника на знаменник призводить до нескінченного десяткового дробу, в якому одна цифра чи група цифр весь час повторюється. Отже, можна стверджувати, що нескінченні періодичні дроби існують. У зв’язку з цим виникає питання про перетворення чистих і мішаних періодичних дробів у звичайні. У математиці доведені теореми, на яких ґрунтуються наступні правила перетворення періодичних дробів у звичайні.

Правило 1: чистий періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельником якого є число, що стоїть у періоді, а знаменником – число, яке записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді.

Правило 2: мішаний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробові, чисельник якого є різниця між числом, що стоїть після коми до кінця періоду, та числом, що стоїть після коми до періоду, а знаменником є число, яке записане стількома дев’ятками, скільки цифр у періоді, та стількома нулями, скільки є цифр до періоду.

Вправа: перетворити періодичні дроби у звичайні: 0,(243); 0, 134(27).

Розв’язання.

Перший періодичний дріб є чистим, а тому використаємо перше правило: 0,(243)= . Тепер слід скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник. Ми проведемо це скорочення поступово. Оскільки 243 9 і 999 9, то скоротимо спочатку на 9. Маємо дріб . Ще можна скоротити на 3, тоді . Оскільки 37 – просте число, то – нескоротний дріб. Таким чином, 0,(243)= . Для другого дробу, який є мішаним періодичним, маємо 0,134(27)= = . Пропонуємо студентам самостійно провести скорочення цього звичайного дробу, якщо це можливо!

Таким чином, у цьому пункті ми з’ясували, що кожний звичайний дріб можна представити у вигляді скінченного чи нескінченного періодичного дробу. В математиці також доведено, що кожний скінченний десятковий дріб можна представити у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу з періодом 0 або з періодом 9. Отже, множину раціональних чисел можна розглядати як множину періодичних десяткових дробів. Це означає, що в ній будуть справедливими всі ті теореми і правила, які доводилися для множини раціональних чисел.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.