Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.



5.Операцію множення на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 7–8. Аксіома 7 визначає правила знаходження добутку, коли другий множник дорівнює нулю, а аксіома 8 – вказує на правило знаходження добутку числа а та числа, яке безпосередньо йде за числом в. Операція, з допомогою якої знаходиться добуток, називається операцією множення. Отже, можна прийняти таке означення:

Означення:множенням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZo2 ставить у відповідність ціле невід’ємне число а×в - добуток чисел а і в - та задовольняє аксіоми 7 і 8:

Аксіома 7: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа а на нуль отримуємо нуль (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZo)[а×0=0]).

Аксіома 8: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа ана число, що безпосередньо йде за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число а×в+а (символічно ця аксіома запишеться так: (,вєZo)[а×в'=а×в+а]).

Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а також про закони, яким вона підкоряється на множині цілих невід’ємних чисел, то слід довести відповідні теореми.

Теорема 5 (про існування та єдиність добутку): операція множення цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Zo2®Zo, яке кожній парі (а,в)єZo2 ставить у відповідність єдине число а×вєZo так, що виконуються аксіоми 7 і 8.

Доведення:доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо єдиність операції множення. Доведення проводиться аналогічно до теореми про єдиність операції додавання (пропонуємо студентам виконати відповідне завдання № 1 для самостійної роботи).

У другій частині доведемо існування бінарної алгебраїчної операції. Для доведення існування відповідності Zo2®Zo використаємо метод математичної індукції (ММІ). Утворимо деяку множину МÌZo, в якій операція множення існує і підкоряється аксіомам 7 і 8. Якщо а=0, то будемо вважати, що для довільного вєZo а×в=0. Таке відображення задовольняє аксіоми 7 і 8, бо при а=0, маємо 0×0=0 (за аксіомою 7) і 0×в'=0×в+0=0+0=0. Отже, 0єМ. Припустимо, що для аєМ операція множення існує, тобто виконуються аксіоми 7 і 8: а×0=0; а×в'=а×в+а. Спробуємо довести, що а'єМ. Виберемо, що а'в=ав+в, а потім покажемо, що ця рівність визначає для а' добуток, який підкоряється аксіомам 7 і 8.

а'×0=а×0+0 (згідно вибору) =0+0 (згідно аксіоми 7) =0 (за аксіомою 5). Розглянемо а'в=ав'+в'= (згідно вибору ав') =ав+а+в+1= (за аксіомою 8 та означенням в') =(ав+в)+(а+1)= (згідно переставного і сполучного законів додавання) =а'в+а' (згідно вибору а'в та визначення а'). Отже, для а' виконується аксіома 8, а тому а'єМ. Таким чином, множина М=Zo, бо для М виконуються всі вимоги аксіоми 4. Теорема доведена.

Теорема 6:операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону (символічно: ("а,вєZo)[а×в=в×а]).

Теорема 7: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону (символічно: ("а,в,сєZo)[(а×в)×с=а×(в×с)]).

Теорема 8: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел пов’язана з операцією додавання дистрибутивним (розподільним) законом множення відносно додавання (символічно: ("а,в,сєZo)[(а+в)×с=а×с+в×с]).

Так само, як і для операції додавання, доведення теорем 6-8 проводиться з використанням методу від супротивного та методу математичної індукції. Ми приймемо справедливість цих теорем без доведення, враховуючи еквівалентність різних теорій цілих невід’ємних чисел. На основі аксіом 7 і 8 та теорем 6-8 можна побудувати таблиці множення, з допомогою яких можна значно спростити знаходження добутку будь-яких цілих невід’ємних чисел. Ці таблиці слід знати напам’ять. Існує вісім таблиць множення: на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9. Їх побудову покажемо на кількох прикладах. 2×2=2×1¢=2×1+2= (згідно аксіоми 8) =2 (згідно аксіоми 7)+2=4 (згідно таблиці додавання). 5×6=5×5¢=5×5+5=25+5=30.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.