Основные теоретические сведения. Плоские электромагнитные волны существуют в однородных безграничных средах

Плоские электромагнитные волны существуют в однородных безграничных средах. В случае полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, комплексные амплитуды Е и Н удовлетворяют уравнениям Гельмгольца

,

(3.1)

где – комплексный коэффициент распространения, β – коэффициент фазы, или волновое число; α – коэффициент ослабления.

Так как исходные уравнения Максвелла дают однозначную связь между Е и Н, достаточно найти решение лишь одного из этих уравнений.

Частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородную плоскую волну. Если последняя распространяется вдоль оси z декартовой системы координат, то указанное решение имеет вид:

(3.2)

Первое слагаемое соответствует прямой (падающей) волне, распространяющейся в направлении положительных значений z, второе слагаемое - обратной (отраженной) волне, распространяющейся в направлении отрицательных значений.

Если величины и известны, то β и α можно найти с помощью выражения для корня квадратного из комплексного числа:

,

где – модуль комплексного числа; квадратные корни и следует считать положительными.

На высоких частотах магнитные свойства большинства сред выражены слабо. Поэтому с достаточной для практических целей степенью точности можно считать

Поскольку

,

комплексный коэффициент распространения

. (3.3)

Коэффициент фазы β характеризует изменение фазы гармонических колебаний при распространении волны. Расстояние, на котором фаза изменяется на 2π рад, называется длиной волны:

.

Плоскость равных фаз называется фазовым фронтом волны, а скорость перемещения этой плоскости – фазовой скоростью:

. (3.4)

Коэффициент фазы и коэффициент ослабления могут быть выражены следующими формулами:

, (3.5)

. (3.6)

Таким образом, между ними существует соотношение

.

Фазовая скорость

, (3.7)

длина волны

. (3.8)

Отношение фазовой скорости в среде к скорости света называют коэффициентом преломления:

.

Из уравнений Максвелла следует, что в случае плоской волны комплексные амплитуды векторов Е и Н связаны характеристическим сопротивлением среды:

, (3.9)

так что

.

Характеристическое сопротивление для немагнитных сред

Ом.

Аргумент принимает значения от нуля (диэлектрики без потерь) до π/4 (идеальный металл).

Характеристическое сопротивление для вакуума

Ом.

Векторные уравнения (4.1) означают, что любая координатная составляющая векторов поля удовлетворяет уравнению

,

имеющему в декартовой системе координат частное решение

. (3.10)

Здесь С – константа; – комплексные постоянные, удовлетворяющие условию

(3.11)

Если – вещественные числа, то выражение (3.10) описывает однородную плоскую волну, распространяющуюся в произвольном относительно исходной системы координат направлении. Эту волну удобно выразить формулой

. (3.12)

Числа имеют смысл направляющих косинусов, фиксирующих направление распространения волны, а r есть радиус-вектор точки (x, y, z). Если хотя бы одно из чисел комплексное, то выражение (3.10) будет описывать неоднородную плоскую волну:

, (3.13)

у которой фазовый фронт задается уравнением

,

а плоскость равных амплитуд – уравнением

.

В общем случае фазовый фронт и плоскость равных амплитуд образуют между собой произвольный угол.

Поскольку уравнения Максвелла линейны, любая комбинация их решений также является решением. В частности, если и – решения исходных уравнений, то

. (3.14)

также есть решение уравнений Максвелла и, следовательно, оно описывает распространение в пространстве некоторой волны. В зависимости от соотношения между фазами и амплитудами и в каждой точке пространства конец вектора Е будет перемещаться по эллипсу с различным отношением и ориентацией его полуосей. Такая волна называется волной с эллиптической поляризацией. При произвольном значении амплитуд и фаз в выражении (3.14) путем поворота осей вокруг оси z всегда можно ввести новую систему координат (х', у', z'), в которой сдвиг фаз между координатными составляющими будет равен ±90°, а полуоси эллипса – совпадать с направлением осей системы. Угол поворота, обеспечивающий такое преобразование системы координат, будет определять ориентацию осей эллипса в системе (х, у, z). Отношение большой полуоси эллипса к малой называют коэффициентом эллиптичности k_эл.

Линейно поляризованная волна представляет собой один из предельных случаев эллиптически поляризованной волны. Второй предельный случай имеет место при равенстве амплитуд исходных полей и сдвиге фаз между ними, равном 90°. Здесь конец вектора Е перемещается по окружности, и волна называется волной с круговой поляризацией. Поле такой волны можно представить выражением

(3.15)

Знак минус соответствует волне с правой круговой поляризацией, у которой вектор Е вращается по часовой стрелке (если смотреть в направлении распространения), а знак плюс – волне с левой круговой поляризацией (направление вращения обратное). Любая волна с линейной поляризацией может быть представлена суммой двух волн с круговой поляризацией, например

, (3.16)

где

(3.17)

Плоская волна переносит энергию в направлении распространения. Для гармонических полей этот процесс описывается средним значением вектора Пойнтинга:

. (3.18)

ЧастоП_ср удобно выражать только через напряженность электрического или магнитного поля:

(3.19)

В средах без потерь П_ср не зависит от координаты z. Если же среда обладает потерями, то плотность потока мощности плоской электромагнитной волны убывает при распространении по экспоненциальному закону:

. (3.20)

Величину потерь в среде характеризуют погонным затуханием ∆ в дБ/м:

,

связанным с коэффициентом ослабления к соотношением ∆ = 8,69α.

Фазовая скорость плоской электромагнитной волны в среде с зависящими от частоты параметрами ε' и ε'' также является функцией частоты. Такое явление называют дисперсией фазовой скорости. При распространении сложных сигналов в этом случае будут нарушаться исходные амплитудные и фазовые соотношения между отдельными составляющими спектра и, как следствие, будет изменяться форма сигнала в процессе его распространения.

Для нахождения вида сигнала необходимо пользоваться спектральным или операторным методом, Например, полагая, что

есть Фурье-преобразование сигнала в плоскости z = 0, можно найти сигнал для любых значений z, используя обратное преобразование

. (3.21)

Пренебрегая потерями в среде и полагая, что сигналы s(t,z) являются узкополосными, можно показать, что их огибающая в средах с дисперсией распространяется с групповой скоростью

. (3.22)

Если условие узкополосности сигнала не выполняется, то понятие групповой скорости, строго говоря, перестает адекватно описывать трансформацию формы такого сигнала.

Поиск по сайту: