Математический маятники
Пружинный маятник - это твердое тело, соединенное с пружиной
и совершающее колебания в результате действия силы упругости. Оче-
видно, что действие силы упругости аналогично действию квазиупругой
силы, рассмотренной в § 17. Следовательно, пружинный маятник совер-
шает гармонические колебания с циклической частотой w0, равной (урав-
нение (17.5)):
, (20.1)
где k – жесткость пружины.
Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания
под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей
через центр масс «О» -ось вращения.
Ось вращения пер-
пендикулярна плос-
кости рисунка. «С»
- центр масс.
| |
(рис.20.1). В поло-
жении равновесия
линия, соединяю-
щая ось вращения и
центр тяжести, рас-
положена верти-
кально. При коле-
баниях все точки
маятника и эта ли-
ния будет откло-
няться от положе-
Рис.20.1 ния равновесия на
некоторый угол j.
A2 = A1 + A2 + 2A1A2cos(α2 - α1)
y y1 + y2
x x1 + x2
| |
При этом возникает момент силы, который стремиться вернуть маятник в
положение равновесия.
Nz = Fd ⇒ F = mg ; d = l × sinj ,
где m - масса маятника, d - плечо силы, l - расстояние от оси до центра
тяжести (точка “с”). Таким образом:
Nz = -mg ×l×sinj . (20.2)
Знак “-” связан с тем, что отклонение маятника происходит в одну сторо-
ну (на рис. “против часовой стрелки”), а момент силы вращает в противо-
положную сторону (на рис. “по часовой стрелке”).
Запишем закон динамики вращательного движения
NZ = IZ β = IZj ⇒-mg×l×sinj = IZj
Для малых углов отклонения (j < 0,1 рад.), т.е. для малых колебаний
sinj » j , следовательно:
- mg ×l×j = Izj ⇒ j + j = 0
Обозначим ω0 = , (20.3)
тогда j + ω0j = 0 , (20.4)
т.е. получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Следовательно, маятник совершает гармонические колебания
j = jm cos(w0t +a) ,
с амплитудой колебаний jm , циклической частотой w0, периодом коле-
баний Т:
Iz
, (20.5)
mgl
где Iz – момент инерции относительно оси вращения.
Математический маятник представляет собой невесомую и нерас-
тяжимую нить, на которой подвешена материальная точка. Его можно
рассматривать как частный случай физического маятника. Для матери-
альной точки
Iz = ml2 ,
где в случае математического маятника l - длина нити. Следовательно,
для такого маятника получим:
mgl
ml2
l
(20.6).
g
Затухающие колебания.
Поиск по сайту:
|