П.3.Движение с постоянным ускорением

Звук

Проблема: Можно ли достаточно просто найти закон движения для какого-либо полезного случая?

Решение: В качестве «простого и полезного» случая можно рассмотреть движение с постоянным ускорением.

Определение: Равнопеременным называется движение с постоянным ускорением.

Задача: Исследовать движение с постоянным ускорением. Запишем это условие:

Записываем основные кинематические характеристики:

(t), , . Из последнего соотношения d = dt.

Суммирование элементарных приращений скорости есть интегрирование:

после интегрирования с учетом : . Отсюда можно получить закон скорости для движения с постоянным ускорением .

Далее из определения скорости выделим приращение радиус-вектора .

Для получения закона движения надо проинтегрировать это выражение:

.

Вынося константы за знак интегрирования и вычислив простейшие интегралы, получим

,

где и - начальное положение и начальная скорость МТ.

Это и есть хорошо известная из курса школы формула, которую теперь мы честно вывели и будем далее называть законом движения МТ для случая постоянного ускорения.

Замечание: Для однозначного предсказания закона движения МТ недостаточно задать одно ускорение, а надо дополнительно задавать еще и начальное положение, и начальную скорость МТ.

Тема 2. Дополнительные кинематические характеристики. Движение МТ по окружности

П.1.Траектория

Звук

Проблема: Как визуально можно представить движение?

Траекторией называется геометрическое место точек, которые последовательно занимает МТ при своем движении.

Траектория это линия, изображающая движения.

X

Алгоритм получения уравнения траектории:

· записать закон движения,

· спроектировать его на оси системы координат, т.е. записать каждую проекцию радиус-вектора, как функцию времени,

· устранить время из этих уравнений ,

· получить указанную функцию.

Замечание: Траектория не единственный способ визуализации движения. Можно использовать график зависимости координаты от времени, например, x(t).

Пример 1: Рассмотрим движение по окружности.

Для окружности, центр которой находится в начале координат:

y МТ

0 x X

Получили уравнение траектории.

Пример 2. МТ движется в плоскости XY, причем закон движения выглядит так , где b и с есть константы. Найти траекторию.

Решение. Используем известный нам алгоритм.

В данной задаче. Закон движения задан через задание проекций радиус-вектора. Из заданного закона движения можно найти проекции x(t) = b×t и y(t) = c×t².

Решаем систему уравнений.

Чтобы устранить время, надо из первого уравнения выразить t = и подставить во второе , отсюда

- есть искомое уравнение траектории.

Это есть уравнение параболы.

П.2. Путь. Средняя скорость.

Звук

Мы часто встречаем утверждения типа «Объект проделал такой-то путь» или «Мы проехали путь (почти 200 км) от Москвы до Твери со скоростью 100 км/час, а показания спидометра иногда доходили до 150 км/час».

Вопрос: Что такое путь и как его вычислять с помощью известных кинематических характеристик? О какой скорости шла речь и что показывает спидометр автомобиля?

Путь есть сумма длин отрезков траектории, на которых движение происходило в одном направлении. Если на некотором участке тело останавливается и начинает двигаться в другом направлении, тогда надо суммировать отрезки траектории с однонаправленным движением.

Обозначения:

dS – элемент пути, S – путь при однонаправленном движении является суммой элементарных путей S = å dS.

Для бесконечно малых .

Используем определение скорости :

или .

Путь или .

Окончательно .

Средней скоростью называется отношение пути, пройденного телом, к промежутку времени, за который этот путь пройден.

<v> = .

Получим формулы для вычисления средней скорости.

<v> =

Замечание:Путь численно равен площади под кривой зависимости модуля скорости от времени v(t) между вертикальными линиями, проведенными при t₁ и t₂ .

На первую часть вопроса, поставленного в начале пункта, мы уже ответили. Теперь ответим и на вторую.

Спидометр это специальный прибор, который измеряет модуль мгновенной скорости автомобиля. Одновременно он вычисляет и показывает на табло и путь, пройденный автомобилем, начиная с момента начала его эксплуатации. На некоторых спидометрах есть и еще одно табло, показывающее путь, пройденный с момента обнуления его показаний (так называемый «дневной пробег»).

Поиск по сайту: