 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы
Гидростатическое давление жидкости на глубине
При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.
Получаем, что модуль силы Архимеда равен Условие плавания тел Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести § § § Другая формулировка (где § § §
8. Идеальная жидкость. Уравнение непрерывности струи. Уравнение движения для идеальной жидкости. Идеальная жидкость — в гидродинамике — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствует вязкость . В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.
Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
Отсюда: Часто уравнение Бернулли записывается в виде:
где
Поиск по сайту: |
есть 
. При этом считаем давление жидкости и напряжённость гравитационного поля постоянными величинами, а 
, причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора 
. Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку 
. На неё будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, 
. Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:
, а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.
и силы Архимеда 
, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:
— тело тонет;
— тело плавает в жидкости или газе;
— тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.
— плотность тела, 
— плотность среды, в которую оно погружено):
— тело тонет;
— тело плавает в жидкости или газе;
— тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.
Тогда через сечение S2 за тоже время проходит жидкость массой m2: 
Так как m1=m2, то 
или 
Где сечение трубы меньше, там скорость жидкости больше, и наоборот (если S1 > S2, то v1 < v2).
Классическое уравнение Эйлера
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции илигравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
,
где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что 
, где 
— плотность жидкости в данной точке, получим:
В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
— плотность жидкости,
— давление в жидкости,
— вектор скорости жидкости,
— вектор напряжённости силового поля,
— оператор набла для трёхмерного пространства.
— скорость потока,
— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
— ускорение свободного падения.
и уравнение Бернулли принимает вид: 
.
.
, статического 
и динамического 
давлений.
(рис 2.3)
,
— атмосферное давление,
— гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты 
).
. Это — закон Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты 
— гидродинамический напор,
— скоростной напор.