 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Площадь фигуры в полярных координатах ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Пусть нам надо вычислить площадь сектора, ограниченного линиями = , = и r = r() при [, ]. (Здесь r - полярный радиус, т.е. расстояние от точки кривой до начала координат, а - полярный угол, т.е. угол (отсчитываемый про- тив часовой стрелки) между положительным направлением оси Ox и лучом, направленным из начала координат в данную точку.)
Билет 29Вычисление длины кривой: Длина дуги кривой: рассмотрим сначала кривую L, заданную в декартовых координатах уравнением y=¦(x), a£x£b (рис.1). Будем считать, что функция ¦(x) имеет непрерывную производную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] несколько частей точками xi:a=x0<x1<... <xn=b. Соответствующие точки на кривой L обозначим буквами M0, M1,..., Mn. Соединим точки M0, M1,..., Mn отрезками. Получим ломаную Ln. Обозначим длину этой ломаной Ln. Назовём длиной кривой L предел длин ломаных при Dx®0, где Dx=max1£i£nDxi, а Dxi=xi+1–xi, l=limDx®0ln. Если указанный предел существует, то кривая L наз. спрямляемой. Покажем, что при сделанных предположениях (функция ¦(x) имеет непрерывную производную) Кривая L явл. спрямляемой.Вычислим длину участка ломаной Dli, соответствующ. отрезку [xi-1, xi] оси Ox. По теореме Пифагора Dli=ÖDxi2+Dyi2. Приращение функции Dyi можно представить по теореме Лагранжа в виде: Dyi=¦(xi)–¦(xi-1)=¦'(xi)(xi–xi-1)=¦'(xi)Dxi, где xi некоторая точка интервала (xi-1,xi). Поэтому длина ломаной lnвыражается формулой ln=SÖDxi2+(¦'(xi)Dxi)2 =SÖ1+(¦'(xi))2Dxi. Последняя сумма явл. интегральной суммой для функции Ö1+(¦'(x))2. Так как эта функция по условию непрерывна, то определенный интеграл от функции Ö1+(¦'(x))2 сущ. и, =>, существует предел длин ломаных. Т.о., кривая L явл. спрямляемой и её длина l может быть вычислена по формуле l=òabÖ1+(¦'(x))2dx. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически: очень часто кривую L удобно задать параметрически x=j(t), y=y(t), t1£t£t2 Пример: часть окружности x2+y2=1, расположенную в верхней полуплоскости можно задать явно: y=Ö1–x2, |x|£1, а можно задать параметрически: x=cos t, y=sin t, 0£t£p. Теор: Пусть кривая L задана параметрически: x=j(t) непрерывные производные на отрезке [t1,t2]. Тогда это кривая спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле: l=òt1t2Ö(j'(t))2+(y'(t))2)dx Док: Проведём рассуждения для случая, когда j'(t)¹0, tÎ[t1,t2]. Для определенности считаем, что j'(t)>0. В этом случае существует обратная функция t=j-1(x), xÎ[a,b], где a=j(t1), b=j(t2). Переменную y можно считать сложной функцией переменной x: y=¦(x)= y(j-1(x)). Применим результат предыдущего пункта.
l=òabÖ1+(¦'(x))2dx=òabÖ1+(y(j-1(x))2×((j-1(x)')2dx= =òt1t2Ö1+(y'(t)/j'(t))2dt=òt1t2Ö(j'(t))2+(y'(t))2dt. При преобразованиях интеграла сделана замена переменной x=j(t). Теор. док. Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах: пусть кривая L задана в полярных координатах уравнением r=¦(j), j1£j£j2, где функция ¦(j) имеет непрерывную производную на отрезке [j1,j2]. Тогда кривая L спрямляема и её длина l может быть вычислена по формуле l=òj1j2Ö¦2(j)+(¦'(j))2dj [1]. Док. формулы [1] основано на использовании формулы для вычисления длины дуги, заданной параметрически. В качестве параметра в этом случае выступает переменная j: x=r×cos j=¦(j)cos j, y=r×sin j=¦(j)sin j, j1£j£j2, Подставляя выражения для x(j) и y(j) в соответствующую формулу и проделав все нужные выкладки, получаем формулу [1].
Поиск по сайту: |
