Формула Ньютона – Лейбница

Пусть в интеграле нижний предел

а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Билет 25 Замена переменной в определённом интеграле:

Теор: пусть 1) Функция ¦(t) непрерывна на [a,b]. 2) Отрезок [a,b] явл. множеством значений функ­ции t=g(x), xÎ[a,b], причём g'(x) непрерывна на [a,b]. 3) g(a)=a; g(b)=b. Тогда ò_a^b¦(t)dt=ò_a^b¦(g(x))g'(x)dx [1] -формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Док: пусть F(t)- некоторая первообразная функции ¦(t) на отрезке [a,b] (она существует в силу непре­рывности ¦(t)). Тогда ò_a^b¦(t)dt=F(b)–F(a) [2]. Функция F(t) дифференцируема на [a,b], поэтому дифференцируема и функция F(g(x)), отрезке [a,b], причем dF(g(x))/dx=F'(g(x))g'(x)= ¦(g(x))g'(x). Стало быть по формуле Ньютона-Лейбница, ò_a^b¦(g(x))g'(x)=F(g(b))–F(g(a))= F(b)–F(a) [3]

Сравнивая формулы [2] и [3], получаем [1]. Теор. док.

Вычисление определённого интеграла по частям:

Теор: Пусть функции u(x) и v(x)имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула ò_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b–ò_a^bv(x)u'(x)dx [1]. - формула интегрирования по частям для определенного интеграла и записывают её еще в виде ò_a^budv=uv|_a^b–ò_a^bvdu. Док: заметим, что функция u(x) и v(x) явл. первообразной для функции (uv)'=u'v+uv', причем

эта функция непрерывна. => ò_a^b(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx= (u(x)v(x))|_a^b [2]. Т.к. u'(x)v(x), u(x)v'(x) - непрерывные на [a,b] функции, то определённые интегралы от этих функций сущ. и формулу [2] можно записать в форме [1]. Теор. док.

25 билет Интегрирование по частям .определённый интеграл

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Билет 26

Поиск по сайту: