Теория вероятностей и математическая статистика

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид

где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β),

Р(α<х<β)=Ф (1)

где Ф(х)= - функция Лапласа.

Пример 1.Математическое ожидание а нормально распределенной случайной величины Х а=10, среднее квадратическое отклонение σ=2. Найти вероятность попадания этой величины в интервал (12;14).

Решение: Подставив в формулу (1) α=12, β=14, а=10, σ=2, получаем

Р(12<х<14)=Ф

По таблице для функции Лапласа находим, что Ф(2)= 0,4772, Ф(1)=0,3413 и искомая вероятность Р(12<х<14)=0,1359.

Оценки, которые определяются одним числом, называют точечными. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, используют интервальные оценки, которые определяются двумя числами – концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью).

Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью γ (ее называют надежностью) покрывают оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.

В частности, при надежности γ=0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения (по выборочной средней выборки объема n, при известном σ) находят по формуле

В обозначениях формула принимает вид:

Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0,95 можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале.

Пример 2.Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю =10,43 (статистическую среднюю ), объем выборки (число наблюдений) n=100 и среднее квадратическое отклонение σ=5.

Решение: Воспользуемся формулой:

Подставляя данные, получаем:

10,43-1,96(5/10)<а<10,43+1,96(5/10), или окончательно 9,45<а<11,41.

Контрольные задания

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания на контрольные работы.

Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2

Таблица 1

Таблица 2

Номера задач для первого курса бакалавриата:

21-40, 61-80, 101-120, 161-180, 191-210, 231-240, 251-260

Номера задач для второго курса бакалавриата:

261-280, 291-320, 341-360, 361-370, 411-430, 491-520

Номера задач для первого курса магистратуры:

441-460, 461-480

ЛИТЕРАТУРА

1. Клетеник Д.В. «Сборник задач по аналитической геометрии» - М., Гостехиздат, 1954-1956 гг.; М., Физматгиз, 1958-1963 гг.; М., Наука, 1965-1980 гг.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов» - М., Наука, 1970-1978 гг., т. 1, 2.

3. «Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов» / Под ред. Б.П. Демидовича – М., Физматгиз, 1959-1963 гг.; М., Наука, 1964-1978 гг.

4. Моисеенко А.М., Александрова Е.В. «Линейная алгебра».

5. Уварова М.Н., Александрова Е.В. «Теория вероятности».

Поиск по сайту: