Хвильове рівняння поширення поверхневих акустичних хвиль Релея. Граничні умови для акустичних хвиль. Нечипорук О. Ю

В ізотропному середовищі закон Гука виглядає так: , де Е – це модуль Юнга, - відносне видовження, - напруження (але такий запис закону можливий тільки при малих деформаціях). А в анізотропному середовищі маємо записати: 

де – тензор напруження; – тензор модулів пружності; – тензор деформації. Отже, бачимо, що головна ідея не змінилась, а саме: напруження = константа x деформація.

Тобто, ми зробили відповідні заміни: → , Е→ , DL/L→ та перейшли від запису закону Гука в скалярній формі до запису в тензорній.

Другий закон Ньютона в тензорномувигляді є таким: , де ρ - густина середовища; t – вектор коливальних зміщень вузлів кристалічної гратки. Після підстановки виразу для закону Гука у друге рівняння Ньютона, отримуємо хвильове рівняня: далі шукаємо розв’язок для вектора коливального зміщення вузлів кристалічної гратки необмеженого анізотропного середовища у вигляді плоскої хвилі: яка поширюється з фазовою швидкістю V, хвильовим числом вздовж напрямку, який визначається напрямляючими косинусами n_і (відповідають декартовим осям x_і). Оскільки хвиля є плоскою, то зміщення U_і, не змінюються в напрямках, які є перпендикулярними до напрямку поширення хвилі.

Підставимо вигляд рішення в хвильове рівняння та маємо: або - хвильове рівняння Гріна–Кістофеля яке описує процес поширення пружних хвиль, та в якому введено позначення – тензор Крістофеля: .

Тепер врахуємо п’єзоефект в рівнянні для акустичних хвиль. Це можна зробити якщо врахувати п’єзоелектричний тензор е_kij який пов’язує пружні напруження з електричними полями в п’єзоелектричному кристалі.

При аналізі поширення пружних хвиль в п’єзоелектриках необхідно одночасно розв’язувати систему рівнянь з:

- закону Гука ;

- другого закону Ньютона;

- системи рівнянь Максвела.

Її розв’язком можуть буди два типи хвиль:

- пружно-електромагнітні хвилі – це будуть переважно пружні хвилі із швидкістю поширення, яка дорівнює фазовій швидкісті АХ V (з рівняння Гріна-Кристофеля); ці хвилі будуть супроводжуватися наявним електричним полем

- електромагнітно-пружні хвилі – це будуть переважно електромагнітні хвилі із швидкістю поширення, близькій до швидкості світла; ці хвилі будуть супроводжуватися механічною деформацією середовища їх поширення.

І. Пружно-електромагнітні хвилі.

Нехтуємо магнітною складовою електромагнітного поля, що створюється електричним полем в п’єзоелектрику та використовуємо рівняння Максвела в наближенні електростатики:

( - електростатичний потенціал: ). Це можливо тому, що Навіть в сильних п’єзоелектриках взаємодія між власними пружними та електромагнітними хвилями є слабою з причини значної різниці швидкостей поширення цих хвиль. Тому поширення цих хвиль розглядають незалежно: пружні коливання розглядаються без врахування електромагнітних ефектів. Отже, в п’єзоелектрику поширюються хвилі, які мають швидкість АХ (а не електромагнітної), а спричинене акустичною хвилею електричне поле подається як градієнт змінного в часі скалярного потенціалу. Властивості п’єзоелектрика враховуються через компоненти п’єзоелектричного тензору e_kij. В такому випадку електромагнітна складова цього типу коливань є малою у порівнянні з її пружною складовою.

ІІ. Електромагнітно-пружні хвилі. Для цих коливань характерним є малість пружної складової енергії у порівнянні з електромагнітною. В цьому випадку не можна робити спрощень, а треба взяти повну систему рівнянь (закону Гука (1), другого закону Ньютона (2) та рівняння п’єзоефекту (3)) і її розв’язувати. Запишемо цю систему: (1) (2) (3) Підставимо рівняння (2),(3) в (1) та в рівняння Максвела для діелектриків: , та отримаємо: , .

Розв’язок цієї системи шукаємо у вигляді плоских хвиль: В результаті отримуємо рівняння Гріна-Крістофеля (Хвильове рівняння з урахуванням п’єзоефекту): , тут - тензор Гріна-Крістофеля. Тобто врахування п’єзоелектричного ефекту призвело до збільшення ефективних пружних контактів в раз, де – тензор коефіцієнтів електромеханічного зв’язку.