Власні типи коливань резонаторів лазера. Частоти власних мод та їх втрати. Пугач І. П

Типи коливань

Кожна мода резонатора характеризується частотою, розподілом поля і затуханням. Для розрахунку розподілу поля моди використовується метод Фокса і Лі. Поверхня розбивається на елементи dS, в межах яких можна вважати амплітуду і фазу поля однаковими. Тоді за принципом Гюйгенса, можемо знайти поле в довільній точці Р (якщо знаємо поле в деякому хвилевому фронті – поверхні, Рис.1) : , де інтегрування іде по поверхні, а ф-я f(θ) – ф-я від нормалі (чим більший кут між напрямком на точку і нормаллю, тим менше значення) .

Рис.1	Рис.2	Рис.3
Рис.4	Рис.4б	Рис.5	Рис.6

Маємо резонатор довжиною L (Рис.2). Поле між двома дзеркалами можна розрахувати ітераційними методами за допомогою ЕОМ: знаючи U₁ можемо знайти U₂, знаючи U₂ можемо знайти U₁. (U_i (x,y)– розподіл поля на і-му дзеркалі): . Може бути, що буде нестаціонарний розподіл (за часом), Але можливо, що встановиться певний розподіл і не залежатиме від подальшого розрахунку.

Після q+1 проходу: , => , де V(x,y) – стаціонарний розподіл (х,у), - комплексне число, що враховує зміни амплітуди і фази після одного відбиття ; k- хвильове число, ρ- втрати на одиницю довжини. Отже, враховуючи все сказане і написане отримуємо інтегральне рівняння для розподілу поля на дзеркалі: . Нетривіальний розв'язок можливий лише при певних значеннях g. V_mn(x,y)=V_m(x)V_n(y) для g_mn. x,y – узаг. координати. Розв'язується це рівняння чисельно (за багато проходів).

На Рис.4 зображено розподіл амплітуди поля ТЕМ₀₀, а на Рис.4 б – фази: 1 – почаковий розподіл, 2- після багаторазового проходження резонатора. На Рис.5 – зображено ТЕМ₁₀ – однакові за амплітудою, але протифазні.

Індекси на рис. показують кількість нулів при проходженні вздовж відповідної осі. Для TEM_mn моди розподіл поля на Рис.6.

Частоти

Якщо уявити шо у нас нескінченні за розмірами дзеркала, тому геометричний зсув для q-ї моди (для чисто ТЕМ хвиль) L=½qλ, тоді спектр резонатора буде еквідистантним .(2L = ql Þ .)

Але у нас дзеркала скінченого розміру. До того, в реальній ситуації хвиля іде лише прямо вздовж осі резонатора і набуває певного геометричного зсуву. Насправді вони всі рухаються під кутом до осі, і картинка моди утворюється в наслідок інтерференції парціальних хвиль. Тоді фазовий зсув: Þ і спектр набуває такого вигляду:

- відстань між повздовжніми модами, - відстань між поперечними модами.

Втрати

Втрати можуть бути двох видів: корисні (обумовлені неповним відбиттям від дзеркал резонатора) та некорисні (виникають через обмеженість дзеркал, роз’юстування, анізотропію в резонаторі). Загальні втрати : - сума всіх втрат у системі (нелінійні явища зараз не враховуємо), де Q_i – добротність зумовлена лише певними втратами , W – накопичена енергія, Р – потужність втрат

1) На корисне випромінювання. При чому їх роблять більшими за будь-які некорисні втрати. Вони по суті визначаються коефіцієнтом відбиття дзеркал резонатора, тобто є втратами через неповне відбиття: .

Маємо нескінченні ідеально з’юстовані дзеркала. За повний обхід резонатора будуть певні втрати, бо (коефіцієнти відбиття): , звідки (ця формула нам відома для інтерферометра Фабрі-Перо). Оскільки с/2L – міжмодовий інтервал, то . А оскільки , то - таким чином змінюючи величину міжмодового інтервалу, наприклад, вдвічі, досягнемо зменшення ширини лінії у стільки ж разів. Спектр зображений на Рис.7

Рис.6	Рис.7	Рис.8	Рис.9	Рис.10

2) Некорисні втрати:

Розглянемо кожен вид некорисних втрат детальніше:

а) Дифракційні (виникають через скінченний розмір дзеркал ). Маємо скінченні ідеально зюстовані дзеркала і .Нехай поперечний розмір дзеркал = а. Втрати будуть, бо промінь виходить за межі резонатора (рис.8).

- час проходження, N – кількість відбиттів, загальний час: , ,

Перевірка: α = 0 → Q=∞ , і при а→∞ → Q→∞ - все гаразд.

Кут α малий. Α залежить від індекса поперечної моди, тобто α_mn= α. Отже втрати для різних мод різні, Але для основної моди m=n=0 і α – мінімальне а добротність максимальна, тобто найменші дифракційні втрати. Чим більше індекси m,n, тим більше втрати моди, оскільки зростає напруженість поля по краям. Дифракційні втрати залежать від розмірів системи. Для зміни дифракційних втрат дзеркала роблять з різним радіусом кривизни. Система, в якій фокуси співпадають наз. конфокальною. Треба зазначити, що очевидно картина поля коливань буде відрізнятись від тої що була наведена раніше.

б). Маємо , скінченні роз’юстовані дзеркала. При кожному відбитті додається кут β до попереднього кута (Рис.10).

Останній кут Nβ<<1 – все одно досить маленький

→N: (оскільки Nβ<<1, то) → Час одного відбиття L/с, →

в) Поляризаційні втрати аналізуються за допомогою матричного формалізму Джонса. В загальному випадку, кожна ТЕМ _mnq мода резонатора являє собою дублет мод. Кожна мода дублета відрізняється від другої частотою, добротністю і станом поляризації (може бути такий варіант коли навіть втрати однієї з компонент будуть більші за підсилення і ми отримаємо „класичний” спектр). Якщо в резонаторі немає анізотропних елементів, то власні моди виявляються виродженими по станам поляризації, втратам і частотам. Внесення анізотропії знімає це виродження.

, де λ_1,2 - власні значення матриці системи , які описують втрати і фазовий зсув хвилі за повний прохід резонатора.

Поиск по сайту: