Кореляційні функції сигналів

Оптимальний прийом сигналів здійснюється за допомогою узгоджених фільтрів або кореляторів. Нормований відгук узгодженого фільтра, визначуваного за допомогою інтеграла згортки,

(*)

де U_j(t) — сигнал на вході фільтра, узгодженого з сигналом Uk(t)Енергії сигналів з номерами j і k рівні Е,a t — зсув сигналу Uj(t) відносно відгуку Uk(t). При j=k і t=0 ), відкидаючи індекси, маємо

що і визначає нормованість відгуку узгодженого фільтра.

Вираз в правій частині (*) визначає інтегральний взаємозв'язок між сигналами Uj(t) і Uk(t) при деякому зсуві t. Якщо t— змінна величина, то r_jk(t) — функціонал, що залежить як від функцій Uj(t) і Uk(t) так і від зсуву t. Саме тому rjk(t) називається кореляційною функцією (КФ) сигналів Uj(t) і Uk(t). У залежності від того, узгоджений або не узгоджений сигнал з фільтром, чи є додаткове доплерівське зміщення несучої частоти сигналу, кореляційні функції мають різні представлення.

Взаємна функція невизначеності (ВФН) двох сигналів з номерами j і k , по визначенню, виражається через комплексні огинаючі сигналів і через їх спектри таким чином:

→

де t- зсув за часом між сигналами, Ω — доплерівський зсув частоти. З точністю до малих більш високого порядку нормований відгук узгодженого фільтра пов'язаний з ВФН співвідношенням

Взаємокореляційна функція (ВКФ) є перетином ВФН при W = 0. Вважаючи W=0, отримуємо

Функція невизначеності (ФН). Якщо фільтр узгоджений з сигналом, тобто j=k опускаючи індекс j, отримуємо визначення ФН

Автокореляційна функція (АКФ) — перетин ФН при = 0. Вважаючи W = 0, знаходимо

Видно, що АКФ є перетворенням Фурье енергетичного спектра комплексною огинаючою сигналу. Згідно із зворотним перетворенням Фурье енергетичний спектр

Розглянемо приклад, що ілюструє властивості автокореляційна функції. На мал. 2.8, а, б зображені простий сигнал у вигляді прямокутного імпульсу і його автокореляційна функція. Максимум R(t) приходиться на момент закінчення сигналу t=T. Це пояснюється тим, що R(t) є нормованим напруженням на виході фільтра, узгодженого з вхідним сигналом, максимум якого співпадає з моментом закінчення сигналу, тобто при t=Т максимум R(0) = 1 .

Для автокореляційної функції у вигляді трикутного імпульсу, зображеного на мал. 2.8,6, енергетичний спектр (квадрат модуля амплітудного спектра) описується

Функцією

Частотна кореляційна функція (ЧКФ) — перетин ФН при t=0. Вважаючи t=0, отримуємо

Вона не залежить від фазової структури сигналу, а визначається тільки квадратом модуля його що огинає. Наприклад, для простого сигналу (мал. 2.8, а) квадрат огинаючої дорівнює 1 (мал. 2.11, а). Тому ЧКФ сигналу, зображеного на мал. 2.8, а записується у вигляді

Вона зображена на мал. 2.11,6. Нулі слідують з. інтервалом 2p/T.

Максимум і симетрія кореляційних функцій. Загалом ці функції називаються як було відмічено раніше, кореляційними функціями (КФ). Відомо, що максимум КФ має місце лише при j=k і t=0,W=0, тобто тільки в центрі ФН (або АКФ і ЧКФ). Максимум

Rj(0,0)=Rk(0,0)=1 a ,

Властивість симетрії КФ полягає в тому, що

Об'єм і середньоквадратичне значення ВФН і ФН. Відомо, що об'єм, укладений між поверхнею, що описується квадратом модуля ВФН, і площиною невизначеності (або просто об'єм ВФН), рівний одиниці, тобто

і не залежить від форми і номерів сигналів. Вважаючи j=k та відкидаючи індекси, маємо результат: об'єм ФН також не залежить від форми сигналу і рівний одиниці, т. е.

Формули дозволяють знайти ефективні значення ВФН і ФН. Позначимо ця значення через R jk єф , Rєф . Вважаючи, що ВФН. и ФН приблизно розподілені на прямокутнику зі сторонами 2Т і 4pf, можемо записати, що

Звідси знаходимо

Видно, що чим більше база сигналу, тим менше ефективні значення.

Поиск по сайту: