Виведення формули Річардсона-Дешмана

Якщо розташувати вісь Х перпендикулярно поверхні металу, то умова виходу елекрона у вакуум має вигляд: , де

де - висота потенціального бар’єру.

- максимальна швидкість електрона в металі.

Кількість електронів зі складовими швидкостей , які підходять кожну секунду до одиниці поверхні металу (потік електронів)

(Ця формула отримується з розподілу Фермі-Дірака, коли замість Е поставити m(V_x)² /2).

Через те, що кожен електрон, що зіштовхується з бар’єром, залишить метал за умови незалежно від та , то загальна кількість електронів, що здатні залишити метал за одну секунду складе:

Для строгого розв’язку задачі про емісію електронів у вакуум треба ввести в це рівняння коефіцієнт прозорості бар’єру .

, де , тобто залежить від співвідношення енергії електрону і висоти потенціального бар’єру. Але через це рівняння дуже важко розв’язати. Тому вводиться поняття : середнє значення коефіцієнта прозорості потенціального бар’єру для вилітаючих електронів. В такому випадку можна винести за знак інтегралу.

Аналізуємо рівняння далі: через те, що для металів - одиниці еВ (для вольфраму, наприклад, ), а при Т=3000К, то

,

тобто одиницею в знаменнику можна знехтувати.

,

де - повна енергія електрона, який може вийти з дна потенціальної ями.

Виразимо тепер енергію через компоненти швидкості з формули

звідки отримаємо:

В

Таким чином:

- стала Зоммерфельда. Для всіх металів вона є однаковою. - стала Річардсона-Дешмана. А ось стала Річардсона-Дешмана для різних металів, що знайдена експериментально, в 1,5 ÷ 2 рази менша за :

для Та : Mo: W :

тобто складається враження, що . Теорія вказує на , адже вигляд потенціального бар’єру не такий: , а такий:

Можливою причиною вказаного розходження теорії з дослідом є зміна положення рівня Фермі в металах в залежності від температури. Але при нагріванні металу, як ми знаємо, Е₀ змінюється слабо:

,

де - робота виходу при Т=0К. для Mo,Ta та W ­­­‑ . Тобто при Т=1000К . може бути як додатньою, так і від’ємною величиною.

Іншою причиною відмінності від може бути плямистість катоду, яка полягає в тому, що у катода на поверхні є ділянки з різною роботою виходу. Ми ж вимірюємо інтегральний струм емісії.

Звертаю Вашу увагу на те, що формула є справедливою і для напівпровідників. Лише треба пам’ятати, що для напівпровідника – це відстань від рівня Фермі до рівня вакууму: . Крім того треба пам’ятати, що положення рівня Фермі у напівпровідників набагато помітніше змінюється з температурою.

Поиск по сайту: