Математическим ожиданием случайной величины Х называется её среднее значение

Рассмотрим дискретную случайную величину Х. Предположим, что проводится серия из N независимых испытаний, в каждом из которых случайная величина Х принимает определённое значение.

Пусть значение х₁ появилось m₁ раз

х₂ -//- m₂

…………………………………

х_n m_n раз

Здесь m₁ + m₂ +……. + m_n = N

Среднее арифметическое значение величины Х или выборочное среднее

- частота или статистическая вероятность события Х = х_i – обозначим ее

При неограниченном увеличении числа опытов N частота будет сходиться по вероятности к вероятности P_i.

При достаточно большом числе независимых опытов сходит по вероятности к математическому ожиданию (одна из форм закона больших чисел).

Случайная величина

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений

В случае когда надо обозначить одной буквой, будем писать = m_x

В иностранной литературе, математическое ожидание величины Х обозначают ЕХ от английского expected value (ожидаемое значение ).

Для непрерывной случайной величины

,

где f (x) – плотность распределения величины Х

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание неслучайной величины С равно этой постоянной (математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине).

Постоянную С можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать только одно значение С с вероятностью равной единице.

Поэтому

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Докажем для дискретных СВ

3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин любого типа равно сумме математических ожиданий этих величин (без доказательства).

4. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин (без доказательства).

Под суммой ( произведений) двух случайных величин Х и Y понимают случайную величину Z = X + Y ( Z = X · Y) , возможные значения которой состоят из сумм ( произведений) каждого возможного значения величины Х и каждого возможного значения величины Y.

Если x₁ , x₂ …..x_n – независимые СВ то математическое отклонение их произведения равно произведению их математических ожиданий.

Поиск по сайту: