Дадим геометрическую интерпретацию функции распределения:
х
Будем рассматривать СВ Х как случайную точку Х на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда F(x) есть вероятность того события, что случайная точка Х в результате опыта попадёт левее точки х, где т.е.
F(x) = Р (- ∞≤ Х < х).
1)Будем увеличивать х, т.е. перемещать точку х вправо по оси абсцисс. При этом вероятность того, что случайная точка X попадёт левее х, не может уменьшиться. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при х2 > х1 F ( x2 ) ≥ F ( x1 ).
2)Будем неограниченно перемещать точку х влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки Х левее х в пределе ставится невозможным событием, а следовательно вероятность этого события стремится к нулю.
На минус бесконечности функция распределения равна нулю
F (- ∞ ) = 0.
3) На плюс бесконечности функция распределения равна 1
F ( + ∞ ) = 1.
Неограниченно перемещая точку х вправо, убеждаемся в этом свойстве, т.к. событие Х < х становится достоверным.
Существует ещё т.н. непрерывно – дискретная смешанная СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток , но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках держит разрывы ( например выработка мощности несколькими агрегатными станциями).
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.
Это событие заключается в том, что СВ примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от а до b, где (а< b)
Условимся левый конец а включать в участок ( а, b ), а правый b не включать.
Тогда попадания СВ Х на участок равносильно выполнению неравенства
а ≤ Х < b
Выразим вероятность этого события через функцию распределения F (x).
Рассмотрим три события:
А, состоящее в том, что Х< b
В, состоящее в том, что Х< а
С, состоящее в том, что а ≤ Х< b
Событие А = В + С , где события, В и С– несовместные события.
По правилу сложения вероятностей P ( X < b ) = P ( X < a) + P (a ≤ X < b )
P (a ≤ X < b ) = F ( b ) – F ( a )
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна разности значений функции распределения на концах этого участка.
Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что b a, в пределе получим вероятность того, что случайная величина примет отдельно взятое значение а.
P ,
Если СВ и F(x) в точке а непрерывна, то вероятность того, что непрерывная СВ примет заданное значение, равна нулю.
P (a < X < b ) = P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤b )
Если СВ дискретна, то Р ( Х= а ) = Р
Функция распределения вероятностей является исчерпывающей характеристикой СВ. Две СВ с одинаковыми функциями распределения называются эквивалентными.