При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.
В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонійна, середня квадратична і середня геометрична.
Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіруємої ознаки, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.
Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки. Середнє гармонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.
Середня арифметична проста:
де Хі – індивідуальні значення ознаки;
n ‑ кількість одиниць сукупності.
Середня арифметична зважена. Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:
;
де Хі – індивідуальні значення ознаки;
mі ‑ кількість однакових варіант.
Розрахуємо середні величини:
1. Ознака –вік працівника:
Таблиця 3.2.
№ п\п
вік
Кількість працівників
середина інтервалу
21-26,2
23,6
26,2-31,4
28,8
31,4-36,6
36,6-41,8
39,2
41,8-47
44,4
47-52
49,6
Ця величина показує, що в середньому вік становить 37 років .
2.Ознака – відпрацьований час:
Таблиця 3.3.
№ п\п
Відпрацьований час
Кількість працівників
Середина інтервалу
53,2-56,1
54,65
56,1-59
57,6
59-61,9
60,45
61,9-64,9
63,4
64,9-67,7
66,3
67,7-71
69,15
Середній відпрацьований час становить 60,69 год /в день.
3.Ознака – коефіцієнт використаного робочого дня :
Таблиця 3.4.
№ п\п
Коефіцієнт використаного робочого дня
Кількість працівників
Середина інтервалу
0,95-1,01
0.98
1,01-1,07
1.04
1,07-1,13
1.1
1,13-1,19
1.16
1,19-1,25
1.22
1,25-1,35
1.28
Середній коефіцієнт використаного робочого часу становить 1,17 год в день .
Крім визначення середніх величин, щоб оцінити коливання ознаки сукупності, в цьому розділі роботи знаходимо показники варіації, які показують як розмістились варіанти ознаки навколо середнього значення ознаки. До них відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.
Розмах варіації- становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки. Перевага показника у тому, що його знаходження дуже просте. Недолік – із всіх одиниць сукупності беруться лише 2 одиниці, що мають максимальне та мінімальне значення.
Rх = xmax – xmin
-- для ознаки –вік працівника:
Rх = 52-21=31 років
--для ознаки –відпрацьований час :
Rх = 71-53,2=17,8 год/в день
-- для ознаки –коефіцієнт використання робочого дня :
Rх = 1,35-0,35=1 (год)
Таким чином, вік працівника варіює в межах 31 років, відпрацьований час змінюється в межах 17,8 год/в день, а коефіцієнт використаного робочого дня варіює в розмірі 1 год.
Середнє лінійне відхиленняпризначене для вимірювання варіації ознаки в сукупності. Цей показник відрізняється від попереднього тим, що він враховує всі одиниці сукупності , проте є недолік: не враховується знак відхилення ознаки від середньої величини.
де - середнє арифметичне ознаки.
хі – індивідуальне значення ознаки.
-- для ознаки – вік працівників:
Значення віку для кожного з працівників знаходиться в межах 5,7 .
--для ознаки – відпрацьований час :
Значення відпрацьований час знаходиться в межах 5,2 год.
-- для ознаки – коефіцієнтом використаного робочого дня:
Значення коефіцієнтом використаного робочого дня знаходиться в межах 0,12 год/в день
Середнє квадратичне відхилення – корінь квадратний із середнього квадрату відхилень від середніх значень. Воно показує, на скільки в середньому індивідуальне значення ознаки відрізняється від середніх величин.
-- для ознаки – вік працівників:
Квадратичне відхилення віку працівників від його середнього становить 10,3
--для ознаки – відпрацьований час :
Квадратичне відхилення відпрацьованого часу від його середнього значення становить 4,1 год.
-- для ознаки – коефіцієнт використаного робочого дня :
Квадратичне відхилення коефіцієнта використаного робочого дня від його середнього значення становить 0,3 год/в день.
Дисперсія – це абсолютний показник варіації, квадрат квадрата відхилення. Зважена дисперсія визначається за формулою:
-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:
--для ознаки – продуктивність праці:
-- для ознаки – технічна швидкість:
При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики – коефіцієнти варіації, які обчислюються як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.
-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:
V= ( 10,3 / 37 )*100%=27,8 %
--для ознаки – продуктивність праці:
V=( 4,1 /60,69 )*100%=6,7 %
-- для ознаки – технічна швидкість:
V=( 0,3/ 1,17 )*100%= 25,6 %
Вважається, що якщо V>30%- зв'язок не однорідний, V<30%- зв'язок однорідний. В даному випадку бачимо, що сукупність, розглянута в ході спостереження є однорідною.
3.3 Структурні середні
Структурні середні – це середні, що характеризують структуру варіаційних рядів.
До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".
Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.
де x0 – це нижня межа модального інтервалу.
i – довжина інтервалу.
mm0 – частота модального інтервалу,
mm0-1 – частота інтервалу, що передує модальному,
mm0+1 – частота інтервалу, що йде після модального інтервалу.
Розрахуємо моду для таких показників:
-- коефіцієнт використання пробігу (модальний інтервал –(21-26,2)):
Найбільше в сукупності зустрічаються працівники з віком 24 роки
-- відпрацьований час (модальний інтервал –(56,1-59)):
Найбільше в сукупності зустрічаються працівники з відпрацьованим часом 57,2 год
-- коефіцієнт використаного робочого дня (модальний інтервал –(1,25-1,35)):
Найбільше в сукупності зустрічаються працівники, що мають коефіцієнт використаного робочого дня 1,30 (год/в день).
Медіаною називається значення варіруючої ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини.
;
де Х0 – нижня границя медіанного інтервалу;
і – величина інтервалу;
mі – загальна сума частот усіх інтервалів;
mе – частота медіанного інтервалу;
Sme-1 – сума частот до медіанного інтервалу.
Розрахуємо медіану для таких показників:
-- вік працівників (медіанний інтервал –(31,4-36,6)):
У половини працівників вік більше 34,5 у іншої половини – менше 34,5.
-- відпрацьований час (медіанний інтервал –(59-61,9)):
У половини працівників відпрацьований час становить більше 60,4год, у іншої половини – менше 60,4год.
-- коефіцієнт використаного робочого дня (медіанний інтервал –(1,19-1,25)):
У половини працівників коефіцієнт використаного робочого дня становить більше 1,21 год у іншої половини – менше 1,21год.