Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функциями

Одной из сложных задач, которую приходится решать при аппроксимации КФ, является выбор модели КФ. Одним из решений этой задачи является применение разложения корреляционной функции в ряд по той или иной системе ортогональных функций. Математическим обоснованием этого метода является теорема Мерсера, согласно которой симметричная и положительно определенная функция, которой и является функция корреляции, может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд вида:

;

где - коэффициенты Фурье;

– семейство базисных функций, ортонормированных в интервале ( ) с весом μ (τ).

Это семейство характеризуется интегралом:

Так как ряд сходится на интервале ( ), то коэффициенты разложения определяются выражением;

.

В качестве системы базисных функций применяются ортогональные функции Лагерра, Лежандра, Хаара и т. д. Выбор системы базисных функций зависит, в основном, от возможности представления КФ минимальным числом членов разложения для типовых моделей, удобством в работе.

В рамках курсового проекта в качестве системы базисных функций были использованы функции Якоби [-1/2;0], которые являются одной из распространенных систем ортогональных функций определяемые выражением:

.

Следует подчеркнуть, что на практике приходится ограничиваться конечным числом ряда . Это приводит к появлению методической погрешности, значение которой зависит как от свойств процесса, так и от способа оценки параметров модели.

Тогда для модели корреляционной функции , имеющие ограниченное число параметров, коэффициенты разложения, вызывающие минимум квадратической погрешности аппроксимации:

,

определяются формулой: .

При оценке коэффициентов разложения ряда, для вычисления применялся следующий метод:

Где , .

Для ортогонального базиса Якоби [-1/2;0]:

. [7]

Параметры масштаба для ортогональных функций определяются по формулам: для 1 модели: , для 7 модели:

Значение интервала дискретизации рассчитывается .

, где δ – заданная допустимая погрешность

- максимальное по модулю значение второй производной соответствующей функции

В рамках поставленной задачи Значение интервала дискретизации можно рассчитать по формулам:

для первой модели КФ ,

а для седьмой модели КФ

Число интервалов дискретизации:

[5].

Минимальное количество требуемых ординат корреляционной функции и значение интервала дискретизации , в зависимости от значения допустимой погрешности представлено в приложении Б.

Поиск по сайту: