Рассмотрим возможные значения коэффициента корреляции.

1) Величины X и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью вида (9). Коэффициент линейной корреляции r = ±1, причем знак «плюс» или «минус» зависит от того, положителен или отрицателен коэффициент p. Сколь тщательным ни был бы эксперимент, получить r = ±1 не удастся.

2) r > 0. Между величинами X и Y существует положительная корреляция, т. е. при возрастании одной из них другая имеет тенденцию также возрастать.

3) r < 0. Между величинами X и Y существует отрицательная корреляция, т. е. при возрастании одной из них другая имеет тенденцию убывать.

4) r = 0. Величины X и Y не коррелированны, т. е. между ними не существует линейной зависимости, а точки (x_i, y_i) на графике не группируются около какой-либо прямой линии.

Таким образом, если есть основания считать, что физические величины X и Y связаны линейной зависимостью, то можно ожидать близкое к ±1 значение коэффициента линейной корреляции r, поэтому прежде чем использовать метод наименьших квадратов для нахождения коэффициентов p и q, полезно вычислить коэффициент линейной корреляции по формулам (10) и (11).

2. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ ВИДА y = k x

2.1. Вычисление параметра k

Наиболее простым видом функциональной зависимости является прямо пропорциональная зависимость между физическими величинами вида

 

. (12)

 

В связи с тем, что значения величин x и y измеряются с погрешностью, нанесенные на координатную плоскость точки будут «разбросаны» относительно предполагаемой прямой. Необходимо отыскать такой коэффициент k (а значит, прямую, наилучшим образом согласованную с экспериментальными точками, нанесенными на плоскость (x, y)), при котором общее отклонение

 

(13)

Рис. 1

минимально (рис. 1). Для этого необходимо решить уравнение:   (14) или   , (15)   где xi, yi – измеренные значения величин; N – количество пар значений измеренных величин.

Естественно, что для отыскания экстремума дифференцирование ведется по параметру, от которого зависит, как пройдет график. Воспользовавшись правилами дифференцирования суммы и сложной функции, получим

 

(16)

 

с учетом того, что x_i, y_i – постоянные. Раскрывая скобки и вынося параметр k за знак суммы, приходим к уравнению:

 

, (17)

 

из которого находим этот параметр:

. (18)

 

Здесь для сокращения записи и упрощения последующих расчетов введено обозначение для знаменателя

 

, (19)

 

который входит во многие последующие формулы. Полученное значение параметра k позволяет наиболее близко к экспериментальным точкам провести прямую, выходящую из начала координат.

 

2.2. Вычисление погрешности параметра k

Часто задачей эксперимента является определение коэффициента пропорциональности между двумя последовательностями чисел (например, нахождение скорости равномерного движения по измерению перемещения за разные промежутки времени). В этом случае экспериментатора интересует не только значение параметра k, но и погрешность в его определении.

В соответствии с формулой (5) запишем:

 

. (20)

 

Поскольку k вычисляется по формуле (18), то производная

 

. (21)

 

Подставляя производную (21) в выражение (20), получим формулу для расчета погрешности параметра k:

 

. (22)

 

Если погрешности Δy_i не известны, положим их равными, и на основании формулы (7) с учетом зависимости (12) запишем:

 

. (23)

 

Тогда, вынося в формуле (22) Δy за знак суммы и из-под квадратного корня, получим:

 

. (24)

 

Окончательно запишем:

 

. (25)

 

Несмотря на кажущуюся громоздкость формул (18), (19), (22) и (25), трудность вычисления можно свести к минимуму при использовании режима статистических расчетов обычных инженерных микрокалькуляторов.

 

Поиск по сайту: