ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Л. А. ЛИТНЕВСКИЙ, С. А. МИНАБУДИНОВА

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ ПО ФИЗИКЕ

ОМСК 2004

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Омский государственный университет путей сообщения

___________________

Л. А. Литневский, С. А. Минабудинова

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В ЛАБОРАТОРНОМ ПРАКТИКУМЕ ПО ФИЗИКЕ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к лабораторным работам по физике

для студентов 1-го, 2-го курсов дневного обучения

Омск 2004

УДК 530.1 (076.5)

ББК 22.3я73

Л64

Метод наименьших квадратов в лабораторном практикуме по физике: Методические указания к выполнению лабораторных работ; Л. А. Литневский, С. А. Минабудинова / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2004. 32 с.

В методических указаниях подробно рассмотрен метод наименьших квадратов, приведены примеры его применения и расчет погрешности при обработке результатов измерений функциональных зависимостей между физическими величинами.

Методические указания по физике предназначены для студентов 1-го и 2-го курсов всех факультетов, могут быть использованы при выполнении лабораторных работ и дополнительных заданий к лабораторным работам.

Библиогр.: 3 назв. Табл. 7. Рис. 2.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. Н. Зажирко;

канд. физ.-мат. наук Г. И. Косенко.

________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................................. 5

1. Обработка результатов измерений функциональных зависимостей........... 6

1.1. Метод наименьших квадратов.................................................................... 6

1.2. Погрешность параметров a, b, ... .......................................................... 7

1.3. Критерий качества аппроксимации ........................................................... 9

2. Аппроксимация экспериментальной зависимости линейной функцией вида y = k x.................................................................................................................... 10

2.1. Вычисление параметра k........................................................................... 10

2.2. Вычисление погрешности параметра k.................................................... 12

2.3. Пример: зависимость силы тока от напряжения на резисторе................ 13

3. Аппроксимация экспериментальной зависимости линейной функцией вида y = p x + q.............................................................................................................. 15

3.1. Вычисление параметров p и q................................................................... 15

3.2. Вычисление погрешности параметров p и q............................................ 16

3.3. Пример: зависимость сопротивления проводника от температуры....... 17

4. Аппроксимация экспериментальной зависимости параболической функцией....... 19

4.1. Вычисление параметров a и b функции y = a x² + bx ............................. 19

4.2. Вычисление погрешности параметров a и b функции y = a x² + bx........ 20

4.3. Вычисление параметра с функции y = c x²и его погрешности ............ 21

5. Другие виды экспериментальной зависимости........................................... 22

5.1. Общий подход........................................................................................... 22

5.2. Экспоненциальная зависимость между величинами вида y = α e ^βx........ 22

5.3. Экспоненциальная зависимость между величинами вида y = α e ^β/x........ 22

5.4. Использование прикладных программ ................................................... 23

6. Метод наименьших квадратов в работе «Затухающие электрические колебания» .................................................................................................................... 24

6.1. Постановка задачи .................................................................................... 24

6.2. Вычисление логарифмического декремента затухания и его погрешности с помощью прикладных программ................................................................. 25

6.3. Вычисление логарифмического декремента затухания и его погрешности аппроксимацией линейной функцией........................................................... 26

6.4. Вычисление сопротивления контура и его погрешности........................ 28

Библиографический список ............................................................................. 30

ВВЕДЕНИЕ

При проведении экспериментов часто возникает необходимость измерения физических величин, находящихся в функциональной зависимости. Как правило, после измерений информация о физическом явлении извлекается из графиков, построенных по данным, полученным экспериментальным путем, а зависимость между двумя физическими величинами – X и Y – представляется в виде табл. 1.

Таблица 1

Зависимость физических величин X и Y

Обработка результатов таких измерений не может быть выполнена по известным правилам обработки результатов прямых и косвенных измерений, поскольку наборы чисел (x₁, x₂, …, x_N) и (y₁, y₂, …, y_N) не являются значениями многократного измерения одной и той же величины. В связи с тем, что значения величин X и Y измеряются с погрешностью, нанесенные на координатную плоскость точки будут разбросаны относительно предполагаемой кривой. Как тогда построить кривую, чтобы она наилучшим образом соответствовала проведенным измерениям?

Если график y = f (x) строить, непосредственно соединяя экспериментально полученные точки, то он будет иметь вид ломаной. Однако в большинстве случаев функции, описывающие процессы в природе, являются гладкими. Значит, необходимо подобрать такую функцию y = f (x), которая наилучшим образом выражала бы экспериментальную зависимость Y от X. Другими словами, требуется сгладить построенную по точкам ломаную линию. Эту задачу называют задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей. Она решается при помощи метода наименьших квадратов.

Подбор формул по экспериментальным данным называют подбором эмпирических формул. На самом деле, формула тем точнее, чем больше теоретических представлений вложено в нее и чем в меньшей степени она является эмпирической. В действительности необходимо сначала задаться видом функции, а затем, пользуясь результатами эксперимента, определить значения различных параметров (постоянных величин), входящих в нее.

Перед тем как приступить к подбору формулы, полезно нанести экспериментальные данные на график и от руки провести через полученные точки наиболее правдоподобную гладкую кривую. При этом сразу выявляются те данные, в которых можно предполагать существенные ошибки. Очень важно при проведении кривой по экспериментальным точкам знать, как должна вести себя кривая при значениях аргумента, весьма близких к нулю, при больших значениях аргумента, проходит ли кривая через начало координат, пересекает ли координатные оси и т. п.

Итак, допустим, что эта предварительная работа выполнена, подобрана формула, и требуется определить значения входящих в формулу постоянных величин. Как это сделать?

1. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Поиск по сайту: