Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Множення та ділення додатних дійсних чисел.



5. Розглянемо правила множення та ділення додатних дійсних чисел. Для цього пригадаємо, що нерівності одного смислу з додатними числами можна почленно множити. Розглянемо два дійсних числа αі β з їхніми відповідними наближеннями αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0. Можна стверджувати справедливість наступної нерівності: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило множення додатних дійсних чисел.

Правило: добуток двох додатних дійсних чисел α і β більший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.

Символічно маємо таку нерівність: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість співмножників. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.

Вправа:знайти добуток дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.

Розв’язання.

Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121•1,242≤α•β≤0,122•1,243. Отже, 0,150≤α•β≤0,152. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.

Виходячи із означення добутку дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.

Теорема: добуток дійсних чисел існує, єдиний, підкоряється комутативному та асоціативному законам і пов'язаний з дією додавання дистрибутивним законом.

Символічно цю теорему можна записати так: 1) ("α,βєR)($!γєR)(α•β=γ); 2) ("α,βєR)(α•β=β•α); 3) ("α,β,γєR)((α•β)•γ=α•(β•γ)); 4) ("α,β,γєR)(α•(β+γ)=α•β+α•γ).

Означення: часткою двох дійсних чисел α і β≠0 називають таке третє дійсне число γ, яке в добутку з числом β дає число α.

Символічно це означення можна записати так: (γ=α:β)↔(β•γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.

Теорема: частка двох дійсних чисел α і β≠0 завжди існує та єдина.

Правило:щоб знайти частку двох дійсних чисел α і β≠0 потрібно ділене помножити на число, обернене до дільника.

Символічно це виглядає так α:β=α•( ). Наприклад: Ö5:Ö3=Ö5•( ). Для практичного виконання ділення дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Якщо маємо αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0, то . Тоді n′:βn′′)≤(αnn)≤(αn′′:βn′).

Правило: частка двох дійсних чисел α і β≠0 більша або дорівнює частки числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює частки числа α з надлишком і числа β з недостачею.

Символічно це означення записується так: n′:βn′′)≤(αnn)≤(αn′′:βn). Застосування правила покажемо на наступному прикладі.

Вправа: знайти частку чисел Ö3 і Ö2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.

Розв’язання.

Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73:1,42≤Ö3:Ö2≤1,74:1,41. Отже, 1,21≤Ö3:Ö2≤1,23. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.