5. Розглянемо правила множення та ділення додатних дійсних чисел. Для цього пригадаємо, що нерівності одного смислу з додатними числами можна почленно множити. Розглянемо два дійсних числа αі β з їхніми відповідними наближеннями αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0. Можна стверджувати справедливість наступної нерівності: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило множення додатних дійсних чисел.
Правило: добуток двох додатних дійсних чисел α і β більший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менший або дорівнює значення добутку десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.
Символічно маємо таку нерівність: αn′•βn′≤αn•βn≤αn′′•βn′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість співмножників. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.
Вправа:знайти добуток дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.
Розв’язання.
Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121•1,242≤α•β≤0,122•1,243. Отже, 0,150≤α•β≤0,152. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.
Виходячи із означення добутку дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.
Теорема: добуток дійсних чисел існує, єдиний, підкоряється комутативному та асоціативному законам і пов'язаний з дією додавання дистрибутивним законом.
Символічно цю теорему можна записати так: 1) ("α,βєR)($!γєR)(α•β=γ); 2) ("α,βєR)(α•β=β•α); 3) ("α,β,γєR)((α•β)•γ=α•(β•γ)); 4) ("α,β,γєR)(α•(β+γ)=α•β+α•γ).
Означення: часткою двох дійсних чисел α і β≠0 називають таке третє дійсне число γ, яке в добутку з числом β дає число α.
Символічно це означення можна записати так: (γ=α:β)↔(β•γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.
Теорема: частка двох дійсних чисел α і β≠0 завжди існує та єдина.
Правило:щоб знайти частку двох дійсних чисел α і β≠0 потрібно ділене помножити на число, обернене до дільника.
Символічно це виглядає так α:β=α•(). Наприклад: Ö5:Ö3=Ö5•( ). Для практичного виконання ділення дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Якщо маємо αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, де α≥0 і β≥0, то ≤ ≤ . Тоді (αn′:βn′′)≤(αn:βn)≤(αn′′:βn′).
Правило: частка двох дійсних чисел α і β≠0 більша або дорівнює частки числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює частки числа α з надлишком і числа β з недостачею.
Символічно це означення записується так: (αn′:βn′′)≤(αn:βn)≤(αn′′:βn). Застосування правила покажемо на наступному прикладі.
Вправа: знайти частку чисел Ö3 і Ö2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.
Розв’язання.
Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73:1,42≤Ö3:Ö2≤1,74:1,41. Отже, 1,21≤Ö3:Ö2≤1,23. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.