Шаг в сторону и обобщение

§ 4. Приближенное вычисление иррациональ­ных чисел

Комплексные числа

Мнимые экспоненты

Сложение и умножение

Изучая осциллятор, нам придется восполь­зоваться одной из наиболее замечательных, по­жалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно рас­правляется с этой формулой примерно за две минуты, даже не обратив на нее внимания. Но наука ведь не только приносит практическую пользу, а служит источником удовольствия, поэтому давайте не будем торопиться проходить мимо этой драгоценности, а посмотрим, как она выглядит в великолепном окружении, ко­торое обычно называют элементарной алгеброй.

Вы можете спросить: «Зачем нужна матема­тика в книге по физике?» Вот несколько ува­жительных причин: прежде всего математика— очень важный рабочий инструмент, но этим мож­но оправдать затрату всего лишь двух минут на вывод этой формулы. Однако при изучении теоретической физики мы обнаруживаем, что все физические законы можно записать в виде математических формул, именно это придает законам простоту и красоту. Таким образом, глубокое понимание математических соотноше­ний в конце концов необходимо для понимания природы. Но главная причина — это красота темы: ведь хотя люди разрезали природу на много кусков и продолжают кромсать ее, изучая очень много предметов на различных факульте­тах, такое разделение искусственно, и мы всегда будем получать наслаждение, собирая вместе отдельные куски.

Еще одна причина, по которой следует за­няться поглубже алгеброй: хотя многие из вас уже знакомились с алгеброй в средней школе, но это было только первым знакомством и многие формулы еще непривычны, поэтому стоит еще раз вспомнить алгебру, чтобы не тратить на формулы столько же сил, сколько их уйдет на изучение самой физики.

То, чем мы займемся, с точки зрения математики, не будет настоящей алгеброй. Математик главным образом интересуется тем, как изложить то или иное математическое утверждение и какие предположения обязательны при выводе теоремы, а какие нет. Для нас важнее результат доказательства. Например, тео­рема Пифагора интересна для нас потому, что в ней сообщается, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы; это очень интересный факт, и мы будем использовать его, не заботясь о том, действительно ли это доказанная Пифагором теорема или просто аксиома. В том же самом духе мы изложим элементарную алгебру, по возмож­ности чисто качественно. Мы говорим элементарная алгебра потому, что существует ветвь математики, называемая высшей алгеброй, где может оказаться неверным, что ab=ba, но таких вещей мы касаться не будем.

Изучение алгебры начнем с середины. Предположим, что нам уже известно, что существуют целые числа, что есть нуль и что значит увеличить число на единицу. Не говорите, пожалуй­ста: «Вот так середина!», потому что для математика это сере­дина, ведь он знает теорию множеств и может вывести все эти свойства целых чисел. Но мы не будем вторгаться в область философии математики и математической логики, а ограни­чимся предположением, что нам известны целые числа и мы умеем считать. Если взять целое число а и прибавить к нему b раз по единице, мы получим число а+b; этим определяется сложение целых чисел.

Определив сложение, проделаем вот что: начнем с нуля и прибавим к нему bраз число а; таким образом мы определим умножение целых чисел и будем называть результат произве­дением а на b.

Теперь можно проделать ряд последовательных умножений: если умножить единицу bраз на число а, то мы возведем а в сте­пень b и запишем результат в виде а^b.

Исходя из этих определений, легко доказать такие соотношения

Эти результаты хорошо известны, мы не хотим долго на них останавливаться, а выписаны они больше для порядка. Конечно, 1 и 0 обладают особыми свойствами, например а+0=а, а•1=а и а в первой степени равно а.

Составляя табличку формул (22.1), мы пользовались такими свойствами, как непрерывность и соотношение порядка; дать им определение очень трудно: для этого создана целая наука. Кроме того, мы выписали, конечно, слишком много «правил»; некоторые из этих правил можно вывести из других, но не будем на этом останавливаться.

Обратные операции

Кроме прямых операций сложения, умножения и возведе­ния в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы а и с; как найти b, удовлетворяющее уравнениям а+b=с, ab=c, b^a=с? Если а+b=с, то bопределяется при помощи вычитания: b=с-а. Столь же проста операция деления: если ab=c, то b=с/а; это решение уравнения ab=c «задом наперед». Если вам встретится степень: b^a=с, то надо запомнить, что bназывается корнем а-й степени из с. Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» — следует отвечать: «Кубический ко­рень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз а^b и b^а— различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если а^b=с, то b=log_ac. He надо пугаться громоздкой записи числа bв этом слу­чае; находить его так же просто, как и результаты других обрат­ных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:

В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, ум­ножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расши­рить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами а, b и с и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень — как последовательное пе­ремножение целых чисел.

Поиск по сайту: