Момент количества движения твердого тела

Прежде чем расстаться с вопросом о вращении в трехмерном пространстве, обсудим еще, хотя бы качественно, некоторые не­очевидные явления, возникающие при трехмерных вращениях,

Главное из них: момент количества движения твердого тела не обязательно направлен в ту же сторону, что и уг­ловая скорость. Рассмотрим колесо, прикрепленное наклонно к оси, однако ось по-прежнему проходит через его центр тяжести (фиг. 20.6).

Фиг. 20.6. Момент количества движения вращающегося тела не обязательно параллелен угловой скорости.

Если вращать колесо вокруг оси, то всем известно, что из-за наклонной посадки оно будет трясти подшипники. Качественно мы знаем, что при вращении на колесо должна действовать центробежная сила, которая старается оттянуть его массу подальше от оси. Она старается выпрямить плоскость колеса так, чтобы оно было перпендикулярно к оси. Чтобы уравновесить это стремление, в подшипниках должен возник­нуть момент сил. Но если в подшипниках возникает момент сил, то должна быть какая-то скорость изменения момента количе­ства движения. Как может изменяться момент количества дви­жения, если колесо просто вращается вокруг оси? Предполо­жим, что мы разбили угловую скорость w на компоненты w₁ и w₂ — перпендикулярную и параллельную плоскости колеса. Чему при этом будет равен момент количества движения? Так как моменты инерции относительно этих двух осей различны, то отношение компонент момента количества движения, кото­рые (при таком частном выборе осей) равны произведениям моментов инерции на соответствующие компоненты угловых скоростей, отличается от отношения компонент угловой ско­рости. Поэтому вектор момента количества движения не направ­лен вдоль оси. Поворачивая вал, мы должны поворачивать и вектор момента количества движения, что приводит к возник­новению момента силы, действующего на ось.

Момент инерции имеет еще одно очень важное и интересное свойство (я не буду доказывать его здесь, так как это очень сложно), которое легко описать и использовать. Наше предыду­щее рассмотрение основано именно на этом свойстве. Оно со­стоит в следующем: любое твердое тело, даже неправильной формы, как, например, картошка, имеет такие три взаимно перпендикулярные проходящие через центр масс оси, что мо­мент инерции относительно одной из них имеет наибольшую возможную величину из всех осей, проходящих через центр масс, а момент инерции относительно другой оси имеет наимень­шую величину. Момент инерции относительно третьей имеет какую-то промежуточную величину между двумя первыми или равную одной из них. Эти оси, называемые главными осями тела, обладают тем важным свойством, что, если тело вращается вокруг одной из них, его момент количества движения имеет то же направление, что и угловая скорость. Если тело имеет оси симметрии, то направление главных осей совпадает с осями симметрии.

Если в качестве осей х, у и z выбрать главные оси тела и назвать соответствующие моменты инерции через А, В и С, то нетрудно подсчитать момент количества движения и кинети­ческую энергию вращения тела при любой угловой скорости w(фиг. 20.7).

Фиг. 20.7. Угловая скорость и мо­мент количества движения твер­дого тела (А>В>С),

Разлагая w на компоненты w_x, w_y, и w_г по осям х, у и z и используя направленные вдоль этих осей единичные векторы i, j, k, можно записать момент количества движения в виде

причем кинетическая энергия будет равна

* Что это действительно так, доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток вре­мени Dt. Это не самоочевидно, и я предоставляю тем, кто интересуется, доказать это.

Глава 21

Поиск по сайту: