ЦЕНТР МАСС; МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Свойства центра масс

Положение центра масс

Вычисление момента инерции

Кинетическая энергия вращения

Свойства центра масс

В предыдущей главе мы установили факт существования некоторой замечательной точки, называемой центром масс. Она замечательна тем, что если на частицы, образующие тело (неважно, будет ли оно твердым или жидким, звездным скоплением или чем-то другим), дей­ствует великое множество сил (конечно, имеют­ся в виду только внешние силы, поскольку все внутренние силы компенсируют друг друга), то результирующая сила приводит к такому уско­рению этой точки, как будто в ней сосредо­точена вся масса тела М. Давайте теперь обсу­дим свойство центра масс несколько подробнее.

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением

Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но мы будем рассматривать только x-направление; если вы поймете, что происходит в x-направлении, то поймете и два остальных. Что означает равен­ство Х_ц.м.=Sm_ix_i/Sm_i? Предположим на ми­нуту, что тело разделено на маленькие кусочки с одинаковой массой m, причем полная масса будет равна числу таких кусочков N, умножен­ному на массу одного кусочка, скажем 1 г, или какую-то другую единицу. Тогда наше уравне­ние просто означает, что нужно взять коорди­наты х всех кусочков, сложить их и резуль­тат разделить на число кусочков, т. е. X_ц.м.=mSx_i/mN=Sx_i/N. Иными словами, если массы кусочков равны, то Х_{ц. м.-} будет просто средним арифметическим x-коорди­нат всех кусочков. Но предположим, что один из кусочков вдвое тяжелее, чем каждый из остальных. Тогда в нашу формулу его координата будет входить с коэффициентом 2, т. е. в суммах ее нужно учитывать дважды. Нетрудно понять, почему это про­исходит. Ведь тяжелый кусочек можно представить себе как бы состоящим из двух легких, таких же, как и все остальные, так что, когда мы вычисляем среднее, его координату х нужно учитывать дважды: ведь кусочков-то в этом месте два. Таким образом, Х_ц.м.равно просто среднему арифметическому х-координат всех масс, причем каждая координата считается некоторое число раз, пропорциональное массе, как будто она разделена на маленькие кусочки единичной массы. Исходя из этого, легко доказать, что Х_ц.м. должна находиться где-то между самой близ­кой и самой далекой частичкой. Вообще центр масс должен лежать где-то внутри многогранника, проведенного через край­ние точки тела. Однако вовсе не обязательно, чтобы центр масс находился в самом теле; ведь могут быть тела, подобные окруж­ности, например обруч, центр масс которого находится в гео­метрическом центре, а не на самом обруче.

Конечно, если объект симметричен, например прямоугольник, обладающий линией симметрии, то его центр масс должен лежать где-то на этой линии. Кстати, прямоугольник имеет еще одну линию симметрии и это однозначно определяет поло­жение его центра масс. Для просто симметричного объекта центр масс должен лежать где-то на оси симметрии: ведь отри­цательных х в этом случае ровно столько же, сколько и поло­жительных.

Существует еще один очень забавный способ нахождения центра масс. Вообразите

себе тело, состоящее из двух кусков А и В (фиг, 19.1).

Фиг. 19.1. Центр масс сложного тела лежит на линии, соеди­няющей центры масс двух составляющих его частей.

Центр масс в этом случае можно найти сле­дующим образом. Находим сначала отдельно центры масс сос­тавных частей А и В и их полные массы М_А и М_B . После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу М_А и расположено в центре масс части А, а другое — массу М_B и расположено в центре масс части В, Полученная точка и будет центром масс всего тела. Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найти его центр масс, не нужно повторять все сначала, а дос­таточно просто найти центр масс системы точечных тел с мас­сами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс. Посмотрим, как это получается. Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А, а другие — части В. При этом мы можем разбить полную сумму Sm_ix_i на сумму по части А, т. е. S_Am_ix_i и сумму по части В, т. е. S_Bm_ix_i. Если бы мы находили центр масс только части А, то нам потребовалась бы первая из этих сумм, которая, как вы знаете, равна М_АХ_А, т. е. полной массе части А на x-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, применен­ной к части A. То же самое можно сказать и о части В. Сумма S_Bm_ix_i должна быть равна М_ВХ_В. Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить MX, т. е.

МХ_ц.м.=Sm_ix_i+Sm_ix_i=М_АХ_А+М_ВХ_В. (19.2)

Полная же масса М, очевидно, равна М_А+М_B, так что выражение (19.2) представляет собой не что иное, как определение центра масс двух точек, одна из которых имеет массу М_А и координату Х_А, а другая — массу М_B и координату Х_B.

Теорема о движении центра масс интересна не только сама по себе, она еще играет очень важную роль в развитии нашего понимания физики. Если мы предположим, что законы Ньютона верны только для маленьких частей, составляющих большое те­ло, то эта теорема показывает, что они верны также и для боль­шого тела. Мы можем не знать его детального строения и нам известны лишь общая масса и полная сила, действующая на него. Другими словами, законы Ньютона имеют ту особенность, что если они справедливы в малом масштабе, то справедливы и в большом. Нет никакой нужды рассматривать футбольный мяч как ужасно сложную вещь, состоящую из мириада взаимодей­ствующих частиц, а достаточно изучить только движение его центра масс под действием внешней силы F, чтобы получить F=ma, где а — ускорение центра масс, а m — полная масса мяча. Итак, закон F=ma воспроизводит сам себя в большом масштабе. (Наверное, должно быть какое-нибудь хорошее гре­ческое слово, которым можно было бы назвать подобные вос­производящие себя в большом масштабе законы.)

Нетрудно, конечно, догадаться, что первый открытый чело­веком закон должен быть именно таким законом, воспроизво­дящим самого себя в большом масштабе. Почему? Да просто потому, что истинный размер фундаментальных «винтиков и колесиков» Вселенной есть атомный размер, который настолько меньше размеров окружающих нас вещей, что только сейчас начинает входить в обычную жизнь. Итак, первая открытая человеком закономерность не могла иметь отношения к разме­рам атомного масштаба. Если бы законы для малых частиц не воспроизводили себя в большом масштабе, то открыть их было бы не так-то легко. А что можно сказать об обратной проблеме? Должны ли законы микромира быть теми же самыми, что и для больших тел? Никакой необходимости в этом, конечно, нет.

Давайте, однако, предположим, что истинное движение атомов описывается неким странным уравнением, которое не воспроиз­водит себя при переходе к большему масштабу. Вместо этого оно обладает тем свойством, что при таком переходе его можно приближенно заменить каким-то выражением, которое при все большем и большем увеличении масштаба воспроизводит само себя. Это вполне может случиться, и в действительности так оно и происходит. Законы Ньютона являются как бы «кончиком хвоста» атомных законов, продолженных до очень больших размеров. Истинные законы движения частиц очень малых раз­меров весьма специфичны, но если мы возьмем большое число частиц и скомбинируем законы их движения, то приближенно, и только приближенно, получим законы Ньютона. После этого законы Ньютона позволяют нам двигаться ко все большим раз­мерам, оставаясь при этом теми же самыми законами. В сущ­ности, при переходе ко все большим и большим размерам они все точнее и точнее описывают природу. Так что факт самовос­производимости законов Ньютона — отнюдь не фундаменталь­ное свойство природы, а важная историческая особенность.

Основываясь на своих первых наблюдениях, мы никоим обра­зом не смогли бы открыть фундаментальные атомные законы, поскольку наблюдения эти были слишком грубыми. Действи­тельно, фундаментальные атомные законы, которые мы назы­ваем квантовой механикой, так сильно отличаются от законов Ньютона, что понять их не просто. Ведь у нас есть только опыт обращения с телами больших размеров, а крохотные атомы ведут себя совершенно невиданным для таких тел образом. Мы не можем сказать: «Электроны в атомах напоминают планеты, крутящиеся вокруг Солнца», или что-то в этом роде. Они не похожи ни на что известное нам, ибо мы не видим ничего похо­жего на них. Если мы применяем квантовую механику ко все большим и большим объектам, то законы поведения такого кол­лектива атомов не воспроизводят поведения одного атома, а дают новый закон — закон Ньютона, который уже воспроизводит сам себя, начиная с объектов весом в 1 миллионную микрограмма, содержащих еще миллиарды и миллиарды атомов, и вплоть до тел величиной с Землю и даже еще больших.

Вернемся, однако, к центру масс. Часто его называют центром тяжести, так как во многих случаях для силы тяго­тения можно провести точно такие же рассуждения, как и для масс. Если размеры достаточно малы, то силу тяжести можно считать не только пропорциональной массе, но и направленной всюду параллельно некоторой фиксированной линии.

Возьмем тело, в котором сила тяжести действует на каждую из составляющих его частей, a m_i — масса одной из этих частей. Действующая на нее сила тяжести будет тогда равна произведе­нию m_i на g. Возникает вопрос: в какой точке нужно приложить одну-единственную силу, чтобы сбалансировать притяже­ние всего тела так, чтобы оно (если это твердое тело) не вра­щалось? Ответ: сила должна проходить через центр масс. До­казывается это следующим образом. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю, ибо если нет момента сил, то нет и изменения момента количества дви­жения, а поэтому нет и вращения. Таким образом, мы должны подсчитать сумму всех моментов, действующих на все частицы, и посмотреть, какой получится полный момент относительно любой данной оси: он должен быть равен нулю, если ось про­ходит через центр масс. Направив ось х горизонтально, а ось у вертикально, мы найдем, что моменты сил равны силам, на­правленным вниз, умноженным на плечо х (т. е. сила на плечо относительно той оси, для которой измеряется момент силы). Полный же момент равен сумме

t=Sm_igx_i=gSm_ix_i. (19.3)

Чтобы полный момент отсутствовал, сумма Sm_ix_i должна быть равна нулю. Но эта сумма равна MX — полной массе, умно­женной на расстояние от оси х до центра масс. Итак, это рас­стояние должно быть равно нулю.

Разумеется, мы провели проверку только для x-направле­ния, однако если мы действительно взяли центр масс, то тело должно быть уравновешено в любом положении, поэтому, по­вернув его на 90°, мы вместо оси х получим ось у. Другими сло­вами, если держать тело за центр масс, то параллельное грави­тационное поле не дает никакого момента сил. Если же объект настолько велик, что становится существенной непараллель­ность сил притяжения, то точку, в которой должна быть при­ложена уравновешивающая сила, описать не просто: она несколько отклоняется от центра масс. Вот почему нужно пом­нить, что центр масс и центр тяжести — разные вещи. Тот факт, что тело, поддерживаемое точно за центр масс, уравновешено в любом положении, имеет еще одно интересное следствие. Если вместо гравитационных сил взять инерционные псевдосилы, возникающие вследствие ускорения, то, чтобы найти точку, уцепившись за которую мы уравновесим все моменты этих сил, можно использовать ту же самую математическую процедуру. Предположим, что мы заключили тело внутрь ящика, который ускоряется вместе со всем его содержимым. Тогда, с точки зре­ния наблюдателя, сидящего в этом ящике, на тело вследствие инерции будет действовать некая эффективная сила. Иначе го­воря, чтобы заставить тело двигаться вместе с ящиком, нужно подталкивать и ускорять его. Эта сила «уравновешивается силой инерции», которая равна массе тела, умноженной на ускорение ящика. Наблюдателю в ящике будет казаться, будто тело на­ходится в однородном гравитационном поле, величина g кото­рого равна ускорению ящика а. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют мо­мента относительно центра масс.

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента коли­чества движения остается справедливым даже для ускоряю­щегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

Положение центра масс

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычис­ления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая ра­ботает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замк­нутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендику­лярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, прой­денное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получа­ется гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый враще­нием его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит

Например, если нам нужно найти центр масс прямоуголь­ного треугольника с основанием D и высотой H (фиг. 19.2), то это делается следующим образом.

Фиг. 19.2. Прямоугольный тре­угольник и прямой круговой конус, образованный вращением этого треугольника.

Вообразите себе ось, про­ходящую вдоль H, и поверните треугольник на 360° вокруг этой оси. Это дает нам конус. Расстояние, которое проходит x-координата центра масс, равно 2pх, а площадь области, кото­рая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна ¹/₂HD. Произведение расстояния, пройденного центром масс, на пло­щадь треугольника равно объему конуса, т. е. ¹/₃pD²H. Таким образом, (2pх)(¹/₂HD)=¹/₃pD²H, или x=D/3. Совершенно аналогично вращением вокруг второго катета или просто по соображениям симметрии находим, что у=Н/3. Вообще центр масс любого однородного треугольника находится в точке пере­сечения трех его медиан (линий, соединяющих вершину тре­угольника с серединой противоположной стороны), которая от­стоит от основания на расстоянии, равном ¹/₃ длины каждой медианы.

Как это увидеть? Рассеките треугольник линиями, парал­лельными основанию, на множество полосок. Заметьте теперь, что медиана делит каждую полоску пополам, следовательно, центр масс должен лежать на медиане.

Возьмем теперь более сложную фигуру. Предположим, что требуется найти положение центра масс однородного полукруга, т. е. круга, разрезанного пополам. Где будет находиться центр масс в этом случае? Для полного круга центр масс расположен в геометрическом центре, но для полукруга найти его положе­ние труднее. Пусть r — радиус круга, а x — расстояние центра масс от прямолинейной границы полукруга. Вращая его вокруг этого края как вокруг оси, мы получаем шар. При этом центр масс проходит расстояние 2pх, а площадь полукруга равна ¹/₂pr² (половине площади круга). Так как объем шара равен, конечно, 4pr³/3, то отсюда находим

или

Существует еще другая теорема Паппа, которая фактически является частным случаем сформулированной выше теоремы, а потому тоже справедлива. Предположим, что вместо твердого полукруга мы взяли полуокружность, например кусок прово­локи в виде полуокружности с однородной плотностью, и хотим найти ее центр масс. Оказывается, что площадь, которая «заме­тается» плоской кривой при ее движении, аналогичном выше­описанному, равна расстоянию, пройденному центром масс, умноженному на длину этой кривой. (Кривую можно рассмат­ривать как очень узкую полоску и применять к ней предыдущую теорему.)

Поиск по сайту: