Зупинимось на основних диференціальних операціях чотирьохвимірного тензорного аналізу.
1.4-градієнт деякого скаляра має бути 4-вектором:
Для того, щоб визначити, який це вектор — коваріантний чи контраваріантний, обчислимо повний диференціал скаляра :
Очевидно, що диференціал скаляра має бути також скаляром: добуток, тут записаний, має такий самий вигляд? як і (10§1). Оскільки диференціали контраваріантних величин є все одно контраваріантними величинами, а результатом множення є скаляр (величина, що не змінюється при переході від однієї системи координат до іншої), то необхідно відмітити, що інші співмножники (похідні) є величини коваріантні.
Отже, при диференціюванні за контраваріантною змінною утворюється коваріантна величина і навпаки, при диференціюванні за коваріантною змінною — контраваріантна.
Таким чином, величина є коваріантний градієнт. Відповідно контраваріантний оператор градієнта має вигляд:
Часто вводячи коваріантні та контраваріантні величини кажуть, що контраваріантний — це такий вектор, який перетворюється як компоненти вектора події, а коваріантний — це вектор, який перетворюється як компоненти градієнта 4-вектора за контраваріантними змінними.
2.4-дивергенція деякого 4-вектора має бути скаляром, тобто інваріантом відносно перетворень Лоренца:
3.4-ротор деякого 4-вектора є антисиметричним тензором другого рангу:
4.Оператор д’Аламбера в чотирьохвимірних позначеннях має вигляд:
Швидкість
У трьохвимірному просторі швидкість не є 4-вектором. Природно ввести 4-швидкість, як похідну від 4-радіус-вектора події за власним часом:
тому що і чисельник, і знаменник є 4-об'єктами. Користуючись цим означенням можемо обчислити його компоненти. У виразі (1) перейдемо від диференціювання за власним часом до диференціювання за часом лабораторної системи координат, ураховуючи (4 §3):
Часова компонента, очевидно:
Тому повністю 4-вектор швидкості дорівнює:
Для цього 4-вектора (і тільки для нього) перевіримо, що квадрат його є інваріант перетворення і також перевіримо, що з цього означення випливають співвідношення (1§5), (2§5), які ми одержували, безпосередньо користуючись перетвореннями Лоренца.
Інваріантність квадрата швидкості отримуємо майже автоматично:
Як і належить кожному 4-вектора, при переході до іншої системи координат перетворюється згідно з (6§1), тому маємо:
, , , . (6)
Маючи при цьому на увазі, що і також Підставляючи значення компонент у (6) маємо:
, ,
(7)
З останньої рівності маємо: Підставляючи цей результат у (7), одержуємо:
(8)
Очевидно, що цей результат збігається з (4). Таким чином введений нами 4-вектор перевірку витримав
Прискорення
Цілком аналогічно до того, як було введено 4-швидкість, вводять 4-прискорення:
Диференціюючи співвідношення (5.50) для квадрата 4-швид-кості, матимемо:
(2)
тобто вектори 4-швидкості та 4-прискорення взаємно ортогональні. Розглянемо окремо просторову та часову частини 4-прискорення wi = (w,w4)
(3)
Обчислимо похідну окремо:
Похідна від квадрата швидкості тому, продовжуючи обчислення, маємо:
Подальші обчислення в (3) ніяких ускладнень не викликають. Отже, просторові компоненти 4-прискорення:
(6)
Обчислимо часову компоненту, враховуючи значення:
Таким чином, вектор 4-прискорення записуємо у вигляді: