Закон додавання швидкостей

Нехай у системі К рухається матеріальна точка з коорди­натами x(t). y(t) і z(t). Ця ж сама точка в системі К' опи­сується координатами x'(t'), y'(t'), z'(t'). Продиференціюємо координату х' за t'. щоб знайти швидкість точки и'_x у системі K'. Користуємось оберненими перетвореннями (12§1) :

(1)

З перетворень (12§1) неважко обчислити похідну dt'/dt:

Підставляючи її в (1) маємо:

до вирази для и'_у та u'_z отримано цілком аналогічним спосо­бом. Зовсім неважко записати вирази для зворотного перо-ходу:

Відмітимо, що в нерелятивіському випадку, V/c —> 0. перетворення СТВ для швидкостей (3) мають вигляд класичних перетворень Галілея (5) . В іншому граничному ви­падку. V —> с. формула (3) забезпечує граничний харак­тер швидкості світла с. Отже, швидкість, згідно з перетво­реннями Лоренца, завжди не перевищує швидкості світла. Тут слід підкреслити, що цей результат не означає, шо в СТВ ніякі швидкості не перевищують с. СТВ стверджує ли­то. І по з надсвітловими швидкостями неможливо передати інформацію. Так, наприклад, фазова швидкість хвилі (але не групова), швидкість світлового «зайчика» можуть бути як завгодно більше за с.

Механіка СТВ

Геометрія 4—простору

Отримавши перетворення Лоренца, ми пересвідчились у тому, що світ, який нас оточує, має в дійсності чотири виміри (r,ct), ане три. Щоправда, відмінності трьохвимірної геомет­рії від чотирьохвимірної стають суттєвими лише при швид­костях, які можна порівнювати зі швидкістю світла. Проте нас турбує зараз лише принципова сторона цього питання.

А навіщо таку геометрію будувати? Причин, принаймні, дві. Перша — ця геометрія є об'єктивно існуючою, ми в цьо­му 4-просторі живемо, хоча до цього часу це не усвідомлю­вали. Є й друга причина. Звичайно, можна було б просто користуватись перетвореннями Лоренца і безпосередньо по­казати, що рівняння Максвелла відносно цих перетворень ін­варіантні. Але це далеко не найкращий вихід, бо крім рів­нянь Максвелла є інші рівняння — Шредінгера, Дірака та ін. А якщо нам потрібно записати деякі рівняння так, щоб вони гарантовано були б лоренц-інваріантні?

Очевидно, треба йти шляхом, який вибирали при побудові векторного числення. Справа в тому, що векторна форма за­пису є спосіб зображення векторних величин незалежно від перетворення системи координат (зсуву, повороту тощо). На­приклад, вирази

M=r×p, B= H (1)

не залежать від перетворень системи координат (на відміну від покоординатної форми запису).

Для трьохвимірного випадку ми побудували цілу низку понять, що можуть входити в ліву та праву частини рівності.

Величина	Зображення
Скаляр	ϕ
Вектор
Скалярний добуток
Векторний добуток
Градієнт	ϕ
Дивергенція
Оператор Лапласа
Ротор
…	…

Оскільки всі ці вели­чини при повороті систе­ми координат змінюють­ся однаковим чином, то в цілому рівняння не змі­нюються і від простих пе­ретворень координат фі­зичний результат не за­лежить. Аналогічним чи­ном введемо систему по­нять для 4-простору. То­ді, якщо показати, що де­яке рівняння містить ли­ше об'єкти чотирьохвимірного простору, то воно

гарантовано буде лоренц-інваріантним. Крім того, маючи від­повідний набір чотирьохвимірних об'єктів, ми зможемо буду­вати нові рівняння, що будуть лоренц-інваріантними.

Звертаємо увагу, що на відміну від евклідової геометрії у чотирьохвимірному просторі-часі мірою довжини є інтервал:

(2)

Нагадаємо, що в евклідовому 4-просторі такою мірою є:

(3)

де ω — четверта координата. Відмінність очевидна, але ці дві геометрії мають багато спільного.

Введемо низку правил та означень, якими будемо кори­стуватись, не виконуючи докладних обґрунтувань.

1.Сукупність координат події будемо вважати компонен­тами чотирьохвимірного радіус-вектора (вектор у чотирьох­вимірному просторі) та позначати:

, , , (4)

Часто також використовують позначення = (x,y,z,ct), або =(r,ct ).

2. Квадрат довжини цього вектора, як ми вже бачили, дорівнює:

(5)

Ця величина не змінюється при довільних поворотах чотирьохвимірної системи координат. Зокрема такими поворотами є й перетворення Лоренца. Не потребує спеціального доведен­ня той факт, що координатна частина інтервалу не змінюєть­ся при звичайних трьохвимірних поворотах навколо початку координат.

3. Зрозуміло, що 4-вектором може бути не лише сукупність координат деякої події. З геометричного погляду сукупність чотирьох чисел, що при довільних поворотах системи коор­динат (включаючи і перетворення Лоренца) змінюється так само як і, називають чотирьохвимірним вектором {4-век­тором) і позначають Аⁱ = (А, А⁴). Закон перетворення має вигляд:

Квадрат довжини довільного 4-вектора, очевидно, є величи­ною, що не змінюється при переходах (та поворотах) від од­нієї системи координат до іншої,

(7)

4. Для зручності запису вводять два типи величин: з ін­дексами зверху Aⁱ (контраваріантні) таз індексами внизу (коваріантні).

Визначимо зв'язок між коваріантними та контраваріантними компонентами 4-вектора наступним правилом:

, , (8)

Отже діє правило: підняття або опускання просторових ін­дексів не змінює знак компоненти, а переміщення часового індексу змінює знак на протилежний. Перехід від контра- до коваріантних компонент вектора можна подати в такому ви­гляді:

, (9)

Використовуючи ці позначення квадрат 4-вектора набуває форми:

(10)

У цих та аналогічних виразах прийнято знак суми не писа­ти, а мати на увазі, що якщо індекс повторюється двічі (один раз внизу і один раз вверху), то за ним необхідно взяти суму від 1 до 4. Такі індекси звуть німими.

Для ортогональних некосокутних координат різниці між коваріантними та контраваріантними величинами немає. Для координат косокутних різниця полягає в тому, що коваріантні компонен­ти утворюються при проектуванні точки шляхом опущення перпендикуляра, а контраваріантні — шляхом паралельного переносу (див. рис. 5.3).

y   A       x

Використовуючи коварі­антні та контраварі­антні позначення, можемо записати основну властивість 4-вектора (6) у ви­гляді:

або (11)

Тобто, якщо при поворотах системи координат (включаючи і лоренцеві), деяка сукупність чотирьох величин перетворюється вищезазна­ченим чином, то вона має право називатись вектором чотирьохвимірного простору. Вираз для матриці легко записати безпосередньо з перетворень Лоренца:

= (12)

5. Аналогічно до трьохвимірного випадку вводять поняття скалярного добутку:

= (13)

Взагалі, у парі німих індексів верхній та нижній індекс мо­жемо змінювати місцями. Введений таким чином скалярний добуток є скаляр і не змінюється при довільних поворотах системи координат.

6.Квадрат 4-вектора може бути додатним, від'ємним та дорівнювати нулеві. Відповідно до цього будемо називати 4-вектори просторовоподібними , часоподібними або нульови­ми.

7.Просторові компоненти 4-вектора утворюють звичайний 3-вектор А. Відносно трьохвимірного простору компонента А⁴ є скаляр. Квадрат 4-вектора часто позначають таким чи­ном:

(14)

8. Аналогічно до трьохвимірного випадку 4-тензором дру­гого рангу називають сукупність 16 величин, які при пере­твореннях координат перетворюються на добуток двох 4-векторів:

(15)

9.Компоненти 4-тензора другого рангу можуть бути зо­бражені у вигляді контраваріантному , коваріантному Т_ік або змішаному . При цьому діє загальне правило: підняття або опускання просторових індексів не змінює знак компо­ненти, а переміщення часового індексу змінює знак на про­тилежний:

, , , , (16)

10.Компоненти і,к =1,2,3 утворюють звичайний трьохвимірний тензор. Компоненти та (і =1,2,3) утворюють 3-вектори. Компонента Т⁴⁴ відносно трьохвимір­ного простору є скаляр.

11.Тензор називаємо симетричним, якщо та антисиметричним, якщо . В антисиметричного тензора всі діагональні компоненти нулеві (покажіть само­стійно).

12.Найважливіше правило, яким постійно користуються при обчисленнях: у всякій тензорній (зокрема і векторній) рівності вирази в обох частинах повинні містити однакові й однаково розташовані вільні індекси (до німих індексів це, звичайно, не відноситься). Вільні індекси можемо переміщу­вати вверх або вниз, але обов'язково одночасно у всіх частинах рівності. Прирівнювати коваріантні та контрваріантні величини не можна.

Один з простіших тензорів другого рангу це так званий матричний тензор:

(17)

Переходячи до іншої інерціальної системи координат за правилом (8), переконуємося, що цей тензор незмінний, тобто він є інваріант відносно перетворень Лоренца. За допо­могою метричного тензора зв'язок між коваріант­ними та контраваріант­ними компонентами 4-векторів набуває вигляду

(18)

Очевидно, що:

(19)

Поиск по сайту: