Расчёт цепей переменного тока может производиться не только графическим построением векторных диаграмм, но и аналитически – операциями с комплексными числами, символически изображающими синусоидальные ЭДС и токи. Достоинством рассмотренного метода векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока является наглядность, а недостатком - малая точность графических построений.
Применение символического метода обеспечивает выполнение расчётов цепей с большей точностью, быстро и практически безошибочно, так как оперирование только с символами и числами позволяет широко использовать вычислительную технику. Поэтому решение задач с помощью символического метода имеет особые преимущества при рассмотрении сложных цепей переменного тока.
Если гармонические напряжения, токи и ЭДС можно изображать вращающимися векторами, а векторы - комплексными числами, то и гармонические напряжения, токи и ЭДС можно в свою очередь изображать комплексными числами.
Предположим, к примеру, что мгновенное напряжение u определяется выражением
Это переменное напряжение графически изображается вектором длиной (в выбранном масштабе), вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью (его численное значение определяется проекцией вектора на вертикальную ось ординат векторной диаграммы, а -проекцией на горизонтальную ось абсцисс). Вектор с модулем и аргументом символически можно изобразить в виде комплексного числа в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.
Алгебраическая форма комплексного числа представляется в виде:
,
где j = – единичное мнимое число;
- вещественная часть комплексного числа,
;
- мнимая часть комплексного числа,
;
– аргумент комплексного числа,
;
- модуль комплексного числа,
.
Символ j перед мнимой частью комплексного числа в алгебраической форме означает, что мнимая часть повёрнута по отношению к вещественной на угол в положительном направлении ( против часовой стрелки).
Комплексное число геометрически можно изобразить на комплексной плоскости с осями координат, представляющими вещественную и мнимую части числа. При этом положительная вещественная ось +1 для удобства направлена вправо, а ось мнимых чисел j – вверх от оси вещественной (рис. 2.12).
+j
+1
Рис. 2.12
Здесь изображен на комплексной плоскости вектор , имеющий модуль и аргумент . Вещественная часть комплексного числа , отображающего символическое выражение вектора амплитуды напряжения, представлена отрезком на вещественной оси +1, а мнимая – отрезком на мнимой оси j. Каждому численному значению амплитуды напряжения (а также тока и ЭДС) на комплексной плоскости соответствуют только одна точка и только один вектор, проведённый из начала координат в эту точку. Векторы, которые выражаются комплексными числами, обозначаются соответственным буквенным символом напряжения, токи и ЭДС с точкой наверху.
При сложении комплексных чисел, соответствующих синусоидальным напряжениям, ЭДС и токам, получаются комплексные числа, изображающие геометрические суммы складываемых векторов. На рис. 2.13 показано сложение двух комплексных чисел
+j
+1
1m
2m
mΣ= 1m+ 2m
+ =
+ =
Рис. 2.13
При сложении двух комплексных чисел
и комплексное число , соответствующее их сумме, будет:
)
Вещественной частью такого числа является ,
а мнимой – .
Вектор, соответствующий полному комплексному числу находится геометрическим сложением векторов
Умножать или делить комплексные числа обычно более удобно, преобразовав их в показательную форму. Вектор с модулем символически изображается в показательной форме в виде:
где e=2,718- постоянное число.
Обычно в символических выражениях гармонически изменяющихся параметров, представленных в показательной форме, отбрасывается переменный аргумент , одинаковый для всех напряжений, ЭДС и токов одной и той же частоты. Это соответствует тому, что в дальнейшем рассматриваются уже не вращающиеся, а неподвижные вектора. В этом случае символическое выражение амплитуды напряжения запишется:
,
а для действующего значения напряжения соответственно получим
При умножении двух комплексных чисел и , записанных символически в показательной форме, их модуля перемножаются, а аргументы складываются. Таким образом, при умножении получаем
При делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются:
Комплексное напряжение можно выразить в тригонометрической форме:
Реально существующие напряжения, ЭДС и токи выражаются вещественными числами, поэтому мгновенные значения гармонических переменных определяются вещественной частью комплексного числа. Так, для напряжения получим