Расчёт электрической цепи при помощи уравнений Кирхгофа

Существует ряд методов расчёта токов в разветвлённой цепи. Все эти методы исследования цепей основаны на применении закона Ома и двух законов Г.Р. Кирхгофа, немецкого физика, основоположника спектрального анализа (1824-1887).

Первый закон Кирхгофа выражает факт непрерывности тока: ни в одной точке цепи не происходит накопление электрических зарядов.

Таким образом, в узле электрической цепи А, где сходятся n проводов (рис. 1.12), не может быть накопления зарядов, поэтому сумма зарядов, текущих в любой момент времени к узлу А, равна сумме зарядов, уходящих от узла.

Рис. 1.12

Алгебраическая сумма токов в проводах, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. математически это можно выразить следующей записью:

где n – общее количество проводов, сходящихся в узле электрической цепи;

k – порядковый номер провода.

При этом токи, текущие к узлу цепи, следует брать с одним знаком (обычно считают их положительными), а токи, текущие от узла, - с другим знаком (отрицательными).

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой электрической цепи. Этот закон в математической форме выражает то, вытекающее из закона сохранения энергии положение, что изменение потенциала при обходе замкнутого контура равно нулю, то есть устанавливается математическая связь между ЭДС, действующей в замкнутой электрической цепи, и произведениями токов в ветвях цепи на сопротивление ветвей.

Рис. 1.13

В рассматриваемой на рис. 1.13 замкнутой электрической цепи ABCD действует три ЭДС: Е₁, Е₂ и Е₄, причём две из них Е₁ и Е₂ действуют согласно в одном направлении (по ходу контура), а третья Е₄– навстречу. Следовательно, выбрав направление обхода контура ABCD по часовой стрелке (показано внутри контура) и считая ЭДС, действующие в направлении обхода, положительными, а ЭДС, действующие в обратном направлении - отрицательными, определим результирующую ЭДС:

Е=Е₁+Е₂-Е₄ (1.32)

Результирующая ЭДС Е будет затрачиваться на проведение тока в ветвях цепи и в соответствии с законом Ома будет равно сумме произведений токов на сопротивления ветвей:

Е = I₁ (r₁ + r_в1) + I₂(r₂ + r_в2) - I₃r₃ - I₄ (r₄ + r_в4) (1.33)

В правой части равенства произведения токов I₃ и I₄ на соответствующие сопротивления взяты со знаком минус, т.к. эти токи протекают против принятого направления обхода контура.

Для цепи, имеющей n ветвей, получим равенство:

математически выражающее второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура.

Рис. 1.14

Для электрической цепи с последовательным соединением резисторов (рис. 1.14) по второму закону Кирхгофа можно записать выражение:

U_u= U₁ + U₂ + U₃+U₄ = Ir₁ + Ir₂ + Ir₃ + Ir₄ = I (r₁ + r₂ + r₃ + r₄)=I R_э^посл (1.35)

или Е_и = I (R_э^посл + r_в) (1.36)

Отсюда следует, что при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений этих резисторов:

Рис. 1.15

Для электрической цепи с параллельным соединением резисторов (рис. 1.15) напряжения на их зажимах одинаково:

U_и = U₁ = U₂ = U₃ = U₄ = I r₁ = I r₂ = I r₃ = I r₄ = U (1.38)

В соответствии с первым законом Кирхгофа ток цепи I равен сумме токов параллельных ветвей:

I = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ (1.39)

Применяя закон Ома для каждой ветви (участка цепи) получим:

(1.40),

где q_э^парал – общая (эквивалентная) проводимость цепи при параллельном соединении резисторов.

Отсюда следует, что при параллельном соединении резисторов общая проводимость цепи равна сумме проводимостей параллельных ветвей:

Из выражения для токов в каждой параллельной ветви получим:

I₁=U =Uq₁=I q₁=I ;

I₂=U =Uq₂=I q₂=I ;

I₃=U =Uq₃=I q₃=I ;

…………………………………….. ;

I_n=U =Uq_n=I q_n=I . (1.43).

Отсюда можно заметить, что если дан общий ток I , то отдельные токи в ветвях I₁, I₂, I_3, … , I_n распределяются пропорционально проводимостям резисторов.

Мощность цепи с параллельным соединением резисторов складывается из мощностей отдельных ветвей:

Смешанное соединение резисторов в цепи постоянного тока представлено на рис. 1.16.

Рис. 1.16

Вначале вычислим сопротивление участка а – б с параллельным соединением

резисторов

(1.45)

Общее сопротивление цепи определится как эквивалентное сопротивление при последовательном соединении резисторов:

(1.46)

Из данного примера для смешанного соединения резисторов в простой электрической цепи следует метод определения эквивалентного сопротивления в общем случае при сколь угодно большом числе участков цепи.

Суть его заключается в строгой последовательности проведения расчётов цепи: сначала находятся эквивалентные сопротивления участков, затем эквивалентное сопротивление всей цепи определяется как сумма найденных эквивалентных сопротивлений и сопротивлений других одиночных резисторов, включённых последовательно.

Источники энергии называются включёнными параллельно, если у них ЭДС направлены к одному и тому же узлу (рис. 1.17). Иначе говоря, все положительные зажимы источников должны быть присоединены к одному узлу, а все отрицательные – к другому (на борту воздушного судна “плюс” на шине и “минус” на корпусе соответственно).

Рис. 1.17

Распределение тока нагрузки I между параллельно соединёнными источниками зависит от их ЭДС и внутренних сопротивлений.

Напряжение U на зажимах а- б связано с ЭДС и внутренними сопротивлениями источников следующим соотношениями:

U = E₁ - I₁ r_в1

U = E₂ - I₂ r_в2

Отсюда

E₁ - I₁ r_в1 = E₂ - I₂ r_в2.

или

E₁ - E₂ = I₁ r_в1- I₂ r_в2 (1.47)

Причём по первому закону Кирхгофа

I = I₁ - I₂ или I₂ = I - I₁ (1.48)

Подставляя выражение для I₂ в предыдущее уравнение (1.47), получим:

Е₁ - Е₂ = I₁ r_в1 - ( I - I₁ ) r_в2 = I₁ r_в1 – I r_в2 - I₁ r_в2 = I₁ (r_в1 - r_в2) - Ir_в2 (1.49)

Отсюда:

(1.50)

или

(1.51)

Аналогично для тока I₂ получим:

(1.52)

Первый член правых частей выражений для I₂ и I₁ представляет собой ток соответствующего источника при отсутствии нагрузки (если I=0, то r→∞, что может быть при разрыве цепи нагрузки), при этом если Е₁=Е₂, токи источников равны нулю, т.е. I₁=I₂=0.

Второй член правой части этих выражений определяет по существу распределение тока I между двумя параллельно включёнными сопротивлениями r_в1 и r_в2, при этом если Е₁=Е₂=0 (при условии 0 ≤ r < ∞), ток нагрузки распределяется между источниками энергии обратно пропорционально их внутренним сопротивлениям, а если Е₁ ≠ Е₂, то в цепи источников появляется ещё уравнительный ток, выражаемый первым членом правой части рассматриваемых формул:

; (1.53)

Направление уравнительных токов зависит от знака числителя в формулах, определяющих их количественное значение, т.е. численного соотношения Е₁ и Е₂.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для расчёта сложных электрических цепей. Общей задачей расчёта является определение токов во всех участках сложной цепи (т.е. цепи, имеющей сложную конфигурацию) при заданных параметрах элементов цепи в известной её конфигурации.

Рассматриваемый метод заключается в составлении уравнений по первому и второму закону Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи. При решении этих уравнений находятся неизвестные токи ветвей.

Общее правило составления уравнения:

- общее число уравнений исходя из правил их решения должно быть равно числу неизвестных токов (определяемых значений токов в ветвях цепи), т.е. числу ветвей цепи;

- число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, равно числу узлов цепи, уменьшенному на единицу;

- недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

При этом следует начинать с наиболее простого контура и следить за тем, чтобы каждый следующий контур, для которого пишется уравнение, содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в уже обойдённые контуры.

Практически число уравнений, которые можно составить по первому и второму законам Кирхгофа, всегда больше числа неизвестных токов, равного числу ветвей цепи. Поэтому желательно заранее составить рациональную систему уравнений, то есть установить, сколько уравнений следует написать по первому и сколько по второму законам Кирхгофа для получения системы уравнений, имеющей определённые решения.

Исследуем сложную цепь, изображённую на рис 1.18.

Рис. 1.18

Будем считать неизвестными значения ЭДС Е₁, Е₂, Е₃, внутренние сопротивления источников энергии r_в1, r_в2, r_в3, а также сопротивления ветвей r₁, r₂, r₃. Следует определить токи в трёх ветвях цепи I₁, I₂, I₃.

Предварительно зададимся направлением токов в ветвях (на рис. 1.18 токи I₁ и I₂ направлены вверх к узлу А , а ток I₃ – к узлу В). Если выбранные (предположительно) направления токов окажутся противоположными действительным (реальным), то при решении уравнений получим значение этих токов со знаком минус. Это будет свидетельствовать о том, что соответствующие токи текут в обратных направлениях.

Так как цепь имеет два узла (А и В), то по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение (число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи). Это правило вытекает из следующих тривиальных рассуждений: каждая ветвь цепи всегда соединяет два узла, и её ток является для одного из этих узлов положительным (направленным к узлу, например, токи I₁ и I₂ к узлу А), для другого отрицательным (те же токи, направленные от узла В).

Поэтому если написать по первому закону Кирхгофа уравнения для всех узлов цепи (в нашем случае для узлов А и В), то каждый ток войдёт в эти уравнения дважды: один раз как положительный, а другой как отрицательный, а сумма левых частей полученных уравнений будет тождественно равно нулю. Отсюда выходит, что уравнения для узлов А и В совершенно одинаковы:

I₁ + I₂ - I₃ = 0 – для узла А (1.54)

или

- I₁ - I₂ + I₃ = 0 – для узла В (1.55).

Первую запись уравнения (для узла А) берём за основу и включаем в составляемую систему (хотя в принципе безразлично, какая запись уравнения войдёт в систему).

Для определения трёх неизвестных токов надо составить ещё два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти оставшиеся два уравнения можно составить для любых двух контуров из имеющихся трёх для данной конфигурации цепи. Целесообразно написать два уравнения для контуров 1 и 2.

Казалось бы, что третье уравнение можно составить и для контура 3, хотя оно и лишнее, так как для определения трёх неизвестных уже есть достаточное количество уравнений . Но это третье уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа явилось бы следствием первых двух, то есть для данной цепи можно составить только два линейно-независимых уравнения, так как в третьем контуре уже нет ветвей, встречающихся впервые при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа.

Выбрав положительное направление обхода этих контуров (по часовой стрелке), составим уравнения:

I₁ (r₁ + r_в1) - I₂ (r₂ + r_в2) = E₁ - E₂ (1.56)

I₂ (r₂ + r_в2) + I₃ (r₃ + r_в3) = E₂ - E₃ (1.57)

Совместное решение уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, даёт возможность определить токи I₁, I₂ и I₃.

Для упрощения записи при проведении расчётов примем укороченную запись выражений, входящих в эти уравнения, например:

r₁ + r_в1 = R₁; r₂ + r_в2 = R₂; r₃ + r_в3 = R₃ (1.58)

E₁ - E₂ = ∆Eʹ; E₂ - E₃ = ∆Eʹʹ (1.59)

В результате получим систему:

Решив полученную систему уравнений путём несложных математических преобразований, можно найти все три тока в ветвях цепи:

;

; (1.60)

И в развёрнутом виде через параметры элементов цепи:

;

; (1.61)

.

Метод расчёта цепи, состоящей, как показано на примере только из трёх ветвей, путём решения уравнений по законам Кирхгофа является достаточно трудоёмким. Усложнение конфигурации цепи значительно усложняет и её расчёт. Так, например, для цепи, имеющей пятнадцать ветвей, требуется составить и решить систему из 15 уравнений.

Поэтому непосредственное применение законов Кирхгофа для определения токов в сложных разветвлённых цепях требует совместного решения значительного числа уравнений, что естественно связано с большой затратой времени при ручном расчёте ( т.е. без применения вычислительной техники с соответствующим программным обеспечением). Существует, однако, ряд методов, в основе которых лежат те же законы Кирхгофа, но они позволяют избежать решения системы уравнений или уменьшить число уравнений, подлежащих решению и, таким образом, значительно упростить процесс расчёта сложных электрических цепей. К таким методам относятся наиболее распространённые в практике вычислений методы контурных токов, наложения и узловых напряжений.

Метод контурных токов

Этот метод значительно упрощает расчеты сложных цепей, так как позволяет сократить число уравнений. В соответствии с ним используется только второй закон Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи.

Общие правила расчёта:

1) выбираются независимые контуры;

2) в каждом контуре предполагается наличие контурного тока, положительное направление которого указывается стрелкой произвольно. Контурный ток – это ток, нереальный, задаваемый исключительно в целях упрощения расчетов;

3) составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи;

4) реальные токи находятся как алгебраическая сумма контурных токов в данной ветви.

На рис. 1.19 показана сложная система, имеющая шесть ветвей (обозначим их условно индексами а, в, ав, ас, вс, с), в которых необходимо определить токи , , , , и .

Рис. 1.19

Искомые токи в ветвях цепи должны удовлетворять системе уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Число узлов в схеме равно четырем (A, B, C и D), поэтому по первому закону Кирхгофа можно было бы написать три уравнения. Но при расчёте сложных цепей методом контурных токов этого не делается, а сразу составляются оставшиеся три уравнения по второму закону Кирхгофа.

Если каждому контуру (‚  ƒ) на рис. 1.19 приписывать некоторый идеализированный ток произвольно выбранного направления (I₁ , I₂ , I₃), называемый контурным током, то действительный ток в любом общем элементе, например резисторе, двух соединительных контуров можно рассматривать как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. Следовательно исходя из принципа наложения будем считать, что в каждом контуре протекают контурные (идеализированные) токи I₁ , I₂ , I₃ , из которых образуются действительные (реальные) токи ветвей , , , , и .

Составим уравнение для первого контура, обходя его в направлении собственного контурного тока и учитывая падение напряжения от всех контурных токов (естественно, смежных контуров), протекающих в резисторах первого контура. От тока I₁ будем иметь суммарное падение напряжения, равное I₁( + + ). По резистору проходит еще и контурный ток I₂ смежного контура ‚ в направлении, совпадающем с обходом контура , создающем падение напряжения I₂ . По резистору протекает ток I₃ так же в направлении обхода контура . Падение напряжения от этого тока равно I₃ . Поэтому уравнение для первого контура, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

.

В правой части уравнения получаем т.к. совпадает с направлением обхода контура, а имеет противоположное направление.

Аналогично составим уравнение для второго и третьего контуров:

;

.

Члены уравнений и взяты с отрицательными знаками, так как ток I₃ в резисторе противоположен по направлению обхода второго контура, а ток I₂ в резисторе противоположен направлению обхода третьего контура.

Сумму всех сопротивлений какого-либо контура условимся называть собственным сопротивление этого контура и обозначим двоичным индексом номера контура, например, r₁₁ – собственное сопротивление первого контура, r₂₂ – собственное сопротивление второго контура и т.д.

В нашем случае собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров запишутся соответственно так:

;

;

Или в общем случае .

Сопротивления резисторов, которые одновременно входят в состав двух контуров, будем называть взаимными и считать их положительными, когда направления контуров токов в них совпадают, и отрицательными, когда направления токов противоположны, в частности:

– взаимное сопротивление 1…2 контуров. В резисторе направления токов и совпадают, поэтому значение взаимного сопротивления пишем со знаком плюс и считаем его положительным;

– взаимное сопротивление 2…3 контуров. Токи и в резисторе направлены противоположно, соответственно значение взаимного сопротивления берется со знаком минус и считается отрицательным;

– взаимное сопротивление 1…3 контуров. Токи и в резисторе направлены одинаково, и его можно считать положительным.

В общем случае можно написать , что выражает очевидные равенства взаимных сопротивлений резисторов контуров m и i.

Алгебраическую сумму всех ЭДС, действующих в каком-либо контуре, будем называть контурной ЭДС:

– контурная ЭДС первого контура.

– контурная ЭДС второго контура.

– контурная ЭДС третьего контура.

Или в общем виде для к-го контура .

В результате система уравнений для схемы на рис. 1.19 примет вид:

Для сложной цепи из n контуров может быть написана в общем виде система из n уравнений:

Полученная система уравнений является математической формулировкой метода контурных токов. Так как число контурных токов определяется количеством контуров и всегда меньше числа токов в ветвях, то применение метода контурных токов уменьшает число неизвестных величин в решаемой системе уравнений, что в значительной степени упрощает анализ сложных электрических цепей.

Приведенную сумму уравнений можно переписать в более удобном виде:

или в матричных обозначениях RI=E:

R=[r_ij] – матрица сопротивлений (квадратная матрица, т.к. число строк и столбцов равно n, т.е. n x n);

I=[I_j] – матрица токов [nx1];

E=[E_i] ­– матрица ЭДС [nx1].

Решая эти уравнения относительно любого контура тока I_k известными математическими методами, получим

где – главный определитель матрицы сопротивлений;

– алгебраическое дополнение, получаемое при вычеркивании в главном определители m-й строки и k-го стобца и умножении полученного определителя (минора) на (-1)^m+k,

,

где – минор элемента , т.е. определитель квадратичной матрицы, полученной из R вычеркиванием m-ой строки и k-го столбца. В общем случае матрица сопротивлений запишется:

.

Главный определитель квадратичной матрицы R находится с помощью разложения Лапласа:

где – общепринятая в математике запись определителя матрицы R.

Запишем решение системы уравнений для частного примера на рис. 1.19 в общем виде:

Алгебраическое дополнения определителя:

Вычислив значение контурных токов

определим действительные значения токов во всех ветвях. Ток в каком-либо резисторе равен алгебраической сумме контурных токов. При этом положительным считается такой контурный ток, который в данном резисторе совпадает по направлению с результирующим током. Так, для нашего примера имеем:

Метод наложения

Из выражения для контурных токов I_k , полученных в предыдущем параграфе (т.е. I₁, I₂, I₃ …), следует, что ток любого контура можно рассматривать как алгебраическую сумму токов, вызываемых отдельной ЭДС электрической цепи ( Е₁, Е₂, Е₃ …):

Каждое слагаемое правой части этого выражения представляет собой ток в каком-либо контуре при наличии ЭДС в какой-нибудь из ветвей и отсутствии всех других ЭДС.

Таким образом, это уравнение показывает, что ток в любом контуре, а значит, и в любой ветви получается от наложения частных токов, возникающих в этой ветви под независимым действием каждой ЭДС электрической цепи.

Общие правила расчета по методу наложения в цепи с несколькими источниками энергии:

1) расчет сложной цепи заменяется расчетом нескольких простых цепей с одним источником энергии в каждой;

2) поочередно определяются частичные токи, создаваемые действием каждой ЭДС в отдельности (остальные ЭДС всякий раз получаются равными нулю);

3) алгебраически складываются (накладываются) частичные токи, создаваемые в одних и тех же ветвях отдельными ЭДС.

Так определяются результирующие токи (действительные токи в каждой ветви), создаваемые совместным действием всех ЭДС.

Рассмотрим расчет по методу наложения на конкретном примере (рис. 1.20) электрической цепи, содержащей два источника энергии.

Рис. 1.20

Вначале исключим рассмотрения ЭДС Е₂, т.е. определим токи в ветвях цепи при наличии только ЭДС Е₁ (Е₂ = 0). Это дает возможность рассматривать цепь как схему со смешанным соединением приемников (рис. 1.21) и определять все частичные токи создаваемые действием только одной ЭДС Е₁.

Рис. 1.21

Токи в ветвях определяются выражениями:

Затем исключаем из рассмотрения ЭДС Е₁ (рис. 1.22).

Рис. 1.22

Токи в ветвях цепи , при действии одной ЭДС Е₂ определяются как:

Действительные токи в ветвях I₁, I₂ и I₃ определяются как алгебраические суммы частичных токов в данной ветви ( ), вызываемых каждой из ЭДС в отдельности, например, .

Здесь ток вычитается из тока , потому что направление тока обратно направлению тока , принятому за положительное. Аналогично определяются остальные токи.

Несмотря на свою простоту, метод наложения обладает некоторыми недостатками. Основной недостаток состоит в том, что частичные токи, имеющие в какой-либо ветви различные направления, часто оказываются по абсолютной величине в несколько раз больше результирующего тока, благодаря чему небольшая (в процентном выражении) возможная ошибка в определении частичных токов приводит к недопустимой большой ошибке в величине результирующего тока. Также при наличии большого числа источников и потребителей энергии метод наложения несколько громоздок и неудобен для расчета.

Вместе с тем, в ряде случаев применение этого метода позволяет быстро определить ток в одной ветви, исследовать влияние изменений одной из ЭДС на изменение токов в ветвях и решить другие частные задачи.

Поиск по сайту: