Материальные уравнения электромагнитного поля

Для описания электромагнитных явлений в материальных сре­дах необходимо располагать соотношениями, которые связывали бы попарно векторные поля Е и D, В и Н. Уравнения подобных свя­зей принято называть материальными уравнениями. Их вывод должен опираться на микроскопическую (атомно-молекулярную) картину процессов, которые происходят в веществе под действием сил электромагнитного поля.

Свойства диэлектриков. Имеются многочисленные диэлектри­ки— вещества, которые не проводят электрический ток. Диэлек­трики способны специфическим образом изменять свое состояние, будучи помещенными в электрическое поле. Рассмотрим вкратце сущность этого явления.

Как известно из физики, молекулы и атомы вещества представ­ляют собой объединение электрически заряженных частиц. В неио- низированном состоянии суммарный заряд молекулы (атома) ра­вен нулю. Для диэлектриков характерны прочные связи электронов с атомами, т. е. высокие значения энергии связи. Поэтому при помещении образца диэлектрика в электрическое поле сквозного дрейфового движения носителей заряда в толще материала не на­блюдается, по крайней мере в не слишком сильных полях.

Однако при этом молекула диэлектрика деформируется таким образом, что ее можно представить совокупностью двух разноимен­ных зарядов +q и —q_y смещенных в пространстве на некоторое расстояние /. Такую систему из двух зарядов называют электриче­ским диполем. Очевидно, что величина I тем больше, чем выше на­пряженность приложенного эле­ктрического поля.

б) Рис. 1.10. Процесс поляризации атома водорода:

Сказанное иллюстрируется уп­рощенной картиной, изображен­ной на рис. 1.10. Здесь показана модель атома водорода, состоя­щего из протона и электрона. С точки зрения классических, т. е. неквантовых, представлений эле­ктрон в "отсутствие внешнего эле­ктрического поля вращается по круговой орбите. Если наблюдать за атомом в течение отрезка вре­мени, значительно превышающего период обращения, то в среднем центр «эффективного» отрица­тельного заряда совпадает с центром ядра. 4том не проявляет дипольных свойств.

После приложения электрического поля орбита электрона вытя­гивается. Центры положительного и отрицательного зарядов пере­стают совпадать в пространстве, и атом водорода начинает вести себя подобно электрическому диполю. Описанное явление называ-, ют электронной поляризацией вещества.

Электронная поляризация свойственна диэлектрикам, молекулы (атомы) которых в отсутствие внешнего поля не обладают собст­венными дипольными свойствами. Такие вещества относят к клас­су неполярных диэлектриков. Примерами служат большинство га­зов и многие твердые диэлектрики, как естественные, так и искусственные (кварц, оксид алюминия, полиэтилен и т. д.).

Однако известно много веществ, молекулы которых проявляют дипольные свойства и без внешнего электрического поля. Такие вещества называют полярными диэлектриками. К ним относятся многие непроводящие жидкости (химически чистая вода, спирты), а также некоторые твердые диэлектрики, например полихлорвинил. Процесс поляризации веществ данного класса изображен на рис. 1.11. В отсутствие внешнего поля Е молекулярные диполи ориенти­рованы в пространстве хаотично. Под действием приложенного по­ля происходит ориентация молекулярных диполей. Очевидно, что степень выраженности этой ориентации тем меньше, чем выше тем- пература, поскольку хаотическое тепловое движение нарушает по­рядок расположения молекул м пространстве.

Поляризационные заряды. Образец диэлектрика, бывший перво­начально электрически нейтральным, остается таковым и в процес­се поляризации. Однако если векторное поле Р пространственно неоднородно, то внутри диэлектрика возникает некоторая отличная от нуля объемная плотность электрического заряда, обусловленная перемещением носителей в пространстве.

Рассмотрим бесконечно протяженную плоскую область толщи­ной Ах внутри диэлектрика, поляризованного вдоль оси х (рис. 1.12). При этом будем считать, что по тем или иным причинам по- ляризованность диэлектрика неоднородна вдоль выделенной оси, так что

Р=Ях (*)>*. (1.24

В отсутствие внешнего поля Е внутри рассматриваемой области положительные и отрицательные заряды, входящие в молекулы, компенсируют друг друга, поэтому плотность электрического заряда р = 0. При поляризации диэлектрика внутрь указанной области че­рез единицу поверхности левой границы входит положительный заряд

Q+ (х₀) = N (х₀) ql (х₀) = Р_х (х₀). (1.25)

Отрицательный заряд, поступающий через правую границу,

Q- (х₀ + Ах) = — N (х₀ + Ах) ql (х₀ + Ax) = — Р_х (х₀ + Ах). (1.26)

В общем случае величины Р_х{хо) и Р_х(х₀ + Ах) не равны. Поэтому в пространстве между воображаемыми плос­костями будет обнаружен так называемый поляризационный электрический заряд с объ­емной плотностью

р ₌п_т ^р* (*о) ~ ^Рх + ^А*> ^ ^дРх

" Длг->о Ал: дх

(1.27)

Можно рассмотреть данную задачу и в бо­лее общей постановке, предполагая, что поля- ризованность неоднородна по всем трем про­странственным координатам, т. е. Р = Р(х, у, z). Пусть dS — элементарная площадка. Ве­личина положительного заряда, пересекающе­го эту площадку в процессе поляризации, рав­на произведению модулей векторов Р и dS, умноженному на косинус угла между ними, т. е. скалярному произведению PdS. Тогда положительный заряд, вышедший за пределы ограниченного объема V с поверхностью S,

Q+=§ PdS.

Внутри объема V обнаруживается равный по величине заряд про­тивоположного знака

PdS.

Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, будем иметь

Q-=- J div PdV\ (1.28)

v

откуда, переходя к дифференциальной форме записи, получим Рп= —div Р. (1.29)

Материальное уравнение электрического поля в диэлектрике.

Поляризационные заряды являются «истинными» и наряду со сво­бодными зарядами, имеющими объемную плотность р_св, должны учитываться при записи закона Гаусса:

Подставив сюда величину р_п из (1.29), будем иметь

(s₀E + P)dS= j _PcBdK. (1.30)

S V

При описании электродинамических явлений в диэлектриках принято вводить векторное поле

D = e₀E + P, (1.31)

о котором уже говорилось в 1.1 и которое называют полем элек­трического смещения. Легко проверить, что закон Гаусса относи­тельно поля D принимает вид

div D = _PcB. (1.32)

Следует заметить, что в эту формулу входит лишь объемная плот­ность свободных зарядов р_св, в то время как поляризационные за­ряды учитываются как бы автоматически.

Во многих диэлектриках при не слишком сильных внешних по­лях наблюдается прямая пропорциональность между векторами Е и Р в каждой точке пространства:

Р=А_ЭЕ. (1.33)

Это равенство справедливо при условии, что вектор Е меняется во времени достаточно медленно и поэтому вектор Р успевает «следить» за вектором Е. Коэффициент k₃ называют диэлектриче­ской восприимчивостью вещества. У разных диэлектриков значе­ния k₃ могут сильно отличаться. Физический смысл формулы (1.33) состоит в том, что она устанавливает некоторую аналогию между поляризуемой молекулой и упругой пружиной, удлинение которой пропорционально приложенной силе.

Подставив (1.33) в (1.31), получаем универсальную характери­стику поляризуемого вещества — абсолютную диэлектрическую проницаемость

4 = 4 +К (1-34)

такую, что

D = e_aE. (1.35)

Последняя формула представляет собой искомое материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике.

В инженерных расчетах часто используют безразмерную харак­теристику материала — относительную диэлектрическую проница­емость

* = *J*o- (1.36)

Приведем для справок небольшую таблицу, содержащую сведе­ния о диэлектриках, часто используемых в радиоэлектронных уст­ройствах.

Свойства магнетиков. Рассмотрим кратко в рамках классиче­ской физики явления в магнетиках, наблюдаемые под действием внешнего магнитного поля.

Еще в прошлом веке, до возникновения атомно-молекулярной теории в ее современном обличии, Ампер высказал гипотезу о том, что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи и в этом смысле подобны микроскопически малым магнитам. Согласно этой гипотезе, магнитные свойства отдельной молекулы описываются следующим образом. Пусть /_м — круговой молекулярный ток, AS — площадь круга, обтекаемого этим током. Обозначим символом AS вектор элементарной площадки (рис. 1.13), ориентированный таким образом, что с его конца ток представляется направленным против движения стрелки часов. Тогда магнитный момент отдельного мо­лекулярного тока есть вектор

m=/_MAS. (1.37)

Будучи помещенными во внешнее магнитное поле Н, молекулы магнетиков частично ориентируются (рис. 1.14). Возможны два случая:

• Направления молекулярных токов таковы, что магнитные мо­менты молекул ориентированы против внешнего поля. Присутствие молекулярных токов уменьшает результирующее поле в среде. По­добные вещества называют диамагнетиками. К ним относится боль­шинство веществ, однако эффект диамагнетизма выражен крайне слабо.

• Магнитные моменты отдельных молекул ориентированы по на­правлению внешнего поля. Действие молекулярных токов ведет к росту магнитного поля внутри вещества. Такие среды называют

парамагнетиками. С точки зрения квантовой механики молекулы или атомы парамагнитных веществ обязательно должны иметь от­личную от нуля сумму орбитальных и спиновых магнитных мо­ментов электронов. Парамагнитные свойства проявляют ионы не­которых металлов, а также молекулы многих газов — кислорода, азота и др.

Поиск по сайту: