Электродинамика – это динамика электрических явлений. В основе лежит закон Кулона, он опирается на том, что существует электрические заряды различных знаков, а также, что одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются. Величина заряда определяет интенсивность взаимодействия. Сам закон имеет вид:
, где
Можно использовать эту формулу для определения величины заряда.
Коэффициент k-зависит от выбора систем единиц. Но мы задачи будем решать в системе единиц СИ, в которой выберем , Ф/м.
Если два одинаковых заряда находятся на расстоянии 1 метра и сила взаимодействия между ними равна , то величина каждого заряда равняется 1 Кл.
Мы часто имеем дело с непрерывно распределённым зарядом и если в элементе объёма dV сосредоточен заряд dq, то заряд в единице объёма в каждой точке называется плотностью заряда . И если известно пространственное распределение заряда можно определить величину заряда в элементе объёма dV: dq= dV. Если заряд распределён по поверхности, можно ввести поверхностную плотность заряда: . dq – заряд расположенный на площадочке dS. Аналогично можно ввести линейную плотность заряда
Когда мы имеем дело с движущимися зарядами, физический смысл имеет понятие силы тока. Сила тока – это количество электричества, проходящего через полное поперечное сечение проводника в единицу времени. Часто мы встречаемся со случаем, когда ток не равномерно распределён по сечению. И вообще, величина тока через сечение различна в разных элементах тока этого сечения и зависит от положения этого элемента сечения относительно тока. В этом случае вводится понятие плотности тока
, -величина тока проходящего через площадку dS, а - плотность тока – это сила тока, проходящего через сечение dS, вдоль направлению нормали к этой площадке. Естественно, что если располагается в плоскости площадки, то Важнейшим закон в электродинамике является закон сохранения заряда или в дифференциальной форме он называется – уравнение непрерывности. Пусть в некотором объёме dV имеется заряд q.
-dq/dt –есть убыль заряда в единицу времени;
dS – элемент поверхности, в которой заключён заряд;
jdS – заряд, проходящий через dS в единицу времени;
Закон сохранения заряда (для незамкнутой системы) можно сформулировать так – убыль заряда в единицу времени в объёме dV равен величине заряда, вытекающего через поверхность этого объёма в единицу времени. Но, так как , то закон сохранения заряда запишется в такой форме:
После небольших преобразований (в правой части используем теорему Гаусса-Остроградского, а в левой части меняем операции дифференцирования и интегрирования) - мы заменили полную производную на частную, здесь постоянном объёме, получаем
- заряд, протекающий через S. Выведем этот закон в дифференциальной форме. Запишем формулу полного заряда . Возьмём производную по времени, получим: Физический смысл – в точках, в которых меняется со временем, имеются истоки тока j.
Основные законы электромагнетизма (в интегральной и дифференциальной форме)
Алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы всегда сохраняется.
Закон сохранения заряда может быть выражен в дифференциальной и интегральной форме.
Закон сохранения заряда, выраженный в интегральной форме:
Где
Ω — некоторая произвольная область в трёхмерном пространстве.
- граница этой области
ρ — плотность заряда
— плотность потока электрического заряда через границу.
Закон сохранения заряда, выраженный в дифференциальной форме:
Дифференциальная и интегральная формы теоремы Гаусса для вектора индукции магнитного поля:
мы получили, что из закона Ампера (и закона Био-Савара-Лапласа) следует уравнение
В силу принципа суперпозиции для индукции магнитного поля из получаем фундаментальное соотношение для магнитного поля
Таким образом, теорема Гаусса для векторного поля магнитной индукции в дифференциальной форме - соотношение (3.28) - является непосредственным следствием закона Био-Савара-Лапласа. Ее интегральный аналог имеет вид:
что доказывает в силу произвольности замкнутой поверхности S , что в природе отсутствуют магнитные заряды. Последнее заключение вытекает из сравнения выражения (3.29) с теоремой Гаусса для вектора в электростатике:
где - свободный электрический заряд внутри замкнутой поверхности S.
Если ввести в рассмотрение элемент потока векторного поля через элемент поверхности нормалью :
и определить величину потока вектора магнитной индукции через поверхность S выражением
то теорема Гаусса для поля в интегральной форме сводится к утверждению:
Закон полного тока
представим то, что поверхность S пронизывается отдельной системой токов, которая может нести как дискретный характер (к примеру, систему отдельных проводников), так и быть непрерывно распределенной (электронный поток может послужить этому примером). Не обуславливая тем временем физической природы данных токов, будем подразумевать для конкретности, что они распределены непрерывно в пространстве с кое-какой плотностью
То теперь полный ток, пронизывающий контур, найдется в виде
Закон полного тока говорит о том, что циркуляция по контуру L вектора напряженности магнитного поля, инициированного протеканием тока
равна полному току, то есть.
Закон полного тока формулирует соотношение выше в интегральной форме.
В том, чтобы связать плотность полного тока в данной гонке с напряженностью магнитного поля, то есть найти дифференциальную форму данного закона, надлежит употребить знаменитой теоремой Стикса из векторного анализа, которая говорит нам о том, что для каждого векторного поля А верно равенство
Использовав крайнюю формулу и перестроив с её помощью
будем располагать
откуда получим из-за произвольности выбранного контура
Формула выше несёт в себе закон полного тока в дифференциальной форме. Заметим, что при помощи закона полного тока в интегральной форме удается разрешить ряд задач, связанных по нахождению магнитного поля заданных токов.