Потенциалы полей различных заряженных тел

Будем рассматривать только случаи, когда напряженность и потенциал зависят только от одной координаты х или радиальной координаты r для сферически или цилиндрически симметричных тел. Разность потенциалов связана с напряженностью в этом случае как (см. формулу (···)):

 (ª)

Связь разности потенциалов с напряженностью для случая одной переменной х или r (математически это уравнение однотипно с (···) при замене х® r)

Из уравнений (ª) или (···) можно найти разность потенциалов, если известна функция Е(r) или Е(r). Чтобы получить формулу для потенциала, следует выбрать уровень нулевого потенциала (так же, как в случае потенциальной энергии – см. механику). Обычно принимают j = 0 на бесконечности, но для поля нити это невозможно (см. ниже).

Точечный заряд.

Подставим в формулу (ª) выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем j ₁ = 0 при

r₁ ®¥, заменим j ₂ ® j , r₂ ®r получим j (r).

(при j¥ = 0)

2).Сфера радиуса R, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м²).

Полный заряд на сфере q = s×4p×R² . Будем рассматривать две области:1) - выбираем две любые точки 1 и 2 в этой области и 2) также выбираем две любые точки уже в этой области. Потенциал должен быть непрерывной функцией, в отличие от напряженности он не может иметь разрывов в данной точке, т.к. по смыслу j - потенциальная энергия единичного положительного заряда, а двух энергий у одного заряда в одной точке данного поля не может быть.

	Подставим в (ª) Е поля сферы. Для получается та же формула, что и для поля точечного заряда.
(при j¥ = 0)

3)Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t.

Выберем на оси радиальных координат r две любые точки с координатами r₁ и r₂.

(см. рис.). Подставим в (ª) напряженность поля длинной нити и проинтегрируем.

	В этом случае принять j = 0 на бесконечности нельзя (см. график ln x), поэтому выбираем j = 0 в некоторой произвольной точке с координатой ro. Т.е. примем j 1 = 0 при r1 = r0, заменим j 2 ® j , r2 ®r получим j (r)
j = 0 при r = r0

4)Бесконечно протяженная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м²). Выберем на оси координат х две произвольные точки х₁ и х₂ .). Используем формулу связи Е и j (···), подставим выражение для напряженности поля бесконечной плоскости.

	Чтобы получить выражение для потенциала примем 1)j 1 = 0 при х1 = 0 и 2) j 1 = 0 при х1 = d (d – произвольная точка на оси х)
1) j = 0 при х = 0 2) j = 0 при х = d

Следует иметь в виду, что формулы для Е и j в случаях плоскости, нити, цилиндра применимы только на расстояниях от них, существенно меньших размеров этих тел. В действительности при учете краевых эффектов поля становятся более сложными.

Во всех случаях, задавая нулевой уровень потенциала j = 0 в различных точках, мы можем получить сколько угодно формул для потенциала данного поля. Потенциальные кривые (или прямые), т.е. графики j(r)или j(х) при этом будут перемещаться по вертикали параллельно самим себе. В принципе, неважно, где выбрать нулевой уровень потенциала, т.к. во всех задачах имеет значение не сам потенциал, а его изменение

Так как потенциал – скалярная величина, а напряженность – вектор, то значительно проще найти сначала зависимость j(r) или j(х), затем дифференцируя, получить формулу для Е(r)или Е (х).

В качестве примера найдем потенциал поля на оси тонкого кольца, равномерно заряженного с линейной плотностью t, а затем Е (х).Для этого выделим в кольце бесконечно малый элемент dl с зарядом dq = t×dl (см. рис.) В некоторой точке A потенциал складывается из потенциалов, создаваемых всеми элементами кольца.

	потенциал поля элементарного заряда dq (j¥ = 0)
	«суммируя» (интегрируя) потенциалы от всех элементов кольца, получим формулу для j (х).
	Дифференцируя по х, найдем напряженность Е(х)

Поиск по сайту: